Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 29/6/2010. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la propria casella: 2corso da 10 crediti;2corso da 5 crediti (Calcolo delle probabilita (per Ing. Mat)). I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.SiaX 1; X 2; : : : una successione di variabili aleatorie indipendenti con legge di Bernoulli di parametrop(cioeP(X i= 1) = p,P(X i= 0) = 1 p) e siaS n= X 1+ X 2+ : : :+X n (n1). (a) Calcolare la legge diX 1condizionata a S n= k, perk= 0;1; : : : ; n. (b) CalcolareE(X 1j S n). (c) Calcolare limn!1E (X 1j S n), precisando in che senso ha luogo la convergenza. Trovare poi la distribuzione asintotica diE(X 1j S n). (d) Fissaton, calcolareE(X ij S n) per ogni intero 1 ine per ogni interoi > n. Soluzione. (a) Calcoliamo P(X 1= 1 jS n= k) =P (X 1= 1 ; S n= k)P (S n= k): Notiamo che risultaP(X 1= 1 ; S n= k) = 0 perk= 0. Perk1 invece si trova P(X 1= 1 ; S n= k) =P(X 1= 1 ; X 1+ X 2+ : : :+X n= k) =P(X 1= 1 ; X 2+ : : :+X n= k1) =P(X 1= 1) P(X 2+ : : :+X n= k1): dove abbiamo usato l'indipendenza delleX i. Osservando che S nha legge binomiale B(n; p) eX 2+ : : :+X nha legge binomiale B(n1; p) si trova, perk1, P(X 1= 1 jS n= k) =p n1 k1
pk 1 (1p)n 1(k1) n k
pk (1p)n k= n1 k1
n k
=kn : Risulta in neP(X 1= 0 jS n= k) = 1P(X 1= 1 jS n= k) = 1(k=n) perk0. (b) Dal punto precedente segue che E(X 1j S n= k) = 1
P(X 1= 1 jS n= k) + 0
P(X 1= 0 jS n= k) =kn perk0 e pertantoE(X 1j S n) = S n=n . (c) PoicheE(X 1j S n) = S n=n e pari alla media campionariaX n, si deducono i noti risul- tati:E(X 1j S n) !E(X 1) = pquasi certamente e inL2 , per la legge dei grandi numeri, epn (E(X 1j S n) p)!ZN(0; p(1p)) in legge, per il teorema limite centrale. (d) Perinsi ripetono i passaggi precedenti e si trovaE(X ij S n) = S n=n . Peri > nle variabiliX ie S nsono indipendenti e si conclude che E(X ij S n) = E(X i) = p. 1 2. Sia (X; Y) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme suD, il disco aperto di raggio 1 centrato nell'origine. (a) Scrivere la densita di probabilita del vettore. (b) Le variabiliXeYsono indipendenti? (c) Le variabiliXeYsono scorrelate? EssendoY6 = 0 quasi certamente, la distribuzione uniforme suDe equivalente alla distri- buzione uniforme suD0 :=Dnf(x; y) :x0; y= 0g. D'ora in avanti supponiamo quindi (X; Y)2D0 e introduciamo il vettore (R;) delle coordinate polari di (X; Y). Allora tale corrispondenza risulta invertibile ed e data dalle funzioni biunivoche (r; ) =h(x; y); h:D0 !(0;1)(; ) (x; y) =h 1 (r; ) = (rcos; rsin); h 1 : (0;1)(; )!D0 (d) Trovare la distribuzione di (R;). (e) Le variabiliRe  sono indipendenti? (f ) Trovare la distribuzione diR. (g) Per ogni 01 si cerchi una soglia realestale cheP(R > s) =. Per qualiesiste una soluzione? Per qualila soluzione e unica? Si dia quindi la soluzione generale. Soluzione. (a)f (X;Y)( x; y) =1 I D( x; y). (b)XeYnon sono indipendenti percheDnon e un prodotto cartesiano. (c) Le variabiliXeYsono scorrelate perche Cov(X; Y) = 0. Infatti: E[X Y] =1 Z 1 1y Zp1 y2 p1 y2x dx! dy= 0 perche l'integrale interno e l'integrale di una funzione dispari su un intervallo simmetrico rispetto all'origine. AnalogamenteE[X] =E[Y] = 0. (d)heh 1 sono funzioniC1 ejdetJ h 1( r; )j=r, per cui (R;) e vettore aleatorio continuo con densiaf(R;)( r; ) =r I (0;1)(;)( r; ): (e) Le variabiliRe  sono indipendenti perche la densita congiunta si fattorizza: f(R;)( r; ) =r I (0;1)( r)I (;)( ): (f )f R( r) = 2r I (0;1)( r). 2 (g) P(R > s) =8 > > < > > :1 ; s0; 1s2 ;0s1; 0; s1: Pertanto la soluzionesesiste per ogni 01 ed e unica per ogni 0<