Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 15/7/2010. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la propria casella: 2corso da 10 crediti;2corso da 5 crediti (Calcolo delle probabilita (per Ing. Mat)). I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Comperate una lampadaEarendildi durata esponenziale di media 5 anni. Una promozione consente di pescare 2 palline simultaneamente da un urna contenente 19 palline, di cui 3 bianche e 16 grigie, e di ricevere in omaggio tante lampadeEarendilaggiuntive quante sono le palline bianche estratte. Si risponda alle seguenti domande introducendo chiaramente le variabili aleatorie in gioco. (a) Qual e la legge del numero di palline bianche estratte? (b) Qual e la legge del numero totale di lampadeEarendilottenute con l'acquisto di una lampada e appro ttando della promozione? (c) Se vengono estrattekpalline bianche, qual e la legge del tempo di luce totale delle lampade ottenute? Si esplicitino eventuali assunzioni aggiuntive. (d) Qual e il tempo di luce totale atteso ottenuto da un cliente che compera una lampadaappro ttando della promozione? (e) Qual e la funzione di ripartizione del tempo di luce totale ottenuto da un cliente checompera una lampada appro ttando della promozione? (f ) Se un cliente che ha appro ttato della promozione rimane al buio entro 5 anni, conquale probabilita non aveva pescato palline bianche? [Puo essere utile ricordare la funzione di ripartizioneFdella legge (n; ): pert >0, F(t) = 1P n1 `=0e t ( t)` =`! Tale legge ha valore atteson= .] Soluzione. (a)N= numero di palline bianche sulle 2 estratte simultaneamenteG(19;3;2), per cuiNdiscreta con densitaf N( k) = 3 k! 16 2k! 19 2! , perk= 0;1;2. (b)X= numero di lampadeEarendilottenute con un solo acquisto = 1 +N, per cuiXdiscreta con densitaf X( k) =f N( k1) = 3 k1! 16 3k! 19 2! , perk= 1;2;3. 1 (c) S i= tempo di vita della i-esima lampadaEarendilpresente nel negozio E(1=5). T= tempo di luce totale con un acquisto =P 1+N i=1S i. Assumendo indipendenti leS i, si ha TjN=k(1 +k;1=5). (d) E[T] =2 X k=0E [TjN=k]P(N=k) =2 X k=05(1 + k) 3 k! 16 2k! 19 2! = 5
0:7018 + 10
0:2807 + 15
0:0175 = 6:58: (e) FT( t) =2 X k=0F TjN=k( t)P(N=k) =2 X k=0 1k X `=0e t=5( t=5)`` !! I(0;1)( t)f N( k) =( 1e t=5 1 + fN(1) + f N(2) t5 + f N(2)t 250 !) I(0;1)( t) (f )P(N= 0jT5) =P (T5jN= 0)P(N= 0)P (T5)=F TjN=0(5) f N(0)F T(5) =(1 1=e) 0:70180 :5192= 0 :8544: 2 2. Si considerinon+ 1 variabili aleatorieX 1; : : : ; X n; X n+1indipendenti con legge N(; 2 ). SianoX ne S2 nmedia e varianza campionarie delle prime n. (a) Si dimostri cheX n+1e indipendente daX n; S2 n . (b) Si dimostri che le variabili aleatorieX n+1,X n, S2 nsono indipendenti. (c) Si calcoli la legge del vettore aleatorio Xn+1X n; S2 n . (d) Si calcoli la legge della variabile aleatoriaX n+1X nS nq1 + 1n . (e) Indicando cont ( n1) il punto percentuale di ordinedi unatdi student an1 gradi di liberta, per 0<