Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 8/9/2010. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la propria casella: 2corso da 10 crediti;2corso da 5 crediti (Calcolo delle probabilita (per Ing. Mat)). I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Si considerino in niti lanci indipendenti di un dado non truccato. (a) Si introducano uno spazio campionario , una-algebraAe una probabilitaPadatti a descrivere l'esperimento aleatorio. (b) Si calcoli la probabilita dell'eventoA 1= \ Esce 1 al primo lancio, 2 al secondo, 3 al terzo, 4 al quarto, 5 al quinto e 6 al sesto". (c) Si calcoli la probabilita dell'eventoA 2= \ Esce almeno un 1 su in niti lanci". (d) Si calcoli la probabilita dell'eventoA 3= \ Escono almeno un 1, un 2, un 3, un 4, un 5 e un 6 su in niti lanci". Si considerino ora le variabili aleatorie reali discrete X n= risultato dell' n-esimo lancio, S n= somma dei risultati dei primi nlanci. (e) Si mostri cheX 1; X 2; : : : e una successione di variabili aleatorie indipendenti. (f ) Si calcolino legge ed attesa condizionata diX 1a S 6= 7. (g) Si calcolino legge ed attesa condizionata diX 7a S 6= 7. Soluzione. (a) =f1; : : : ;6gN ,  A= Ek n k = 1; : : : ;6; n2N , doveEk n= f!= (! n) n2N2 t.c.! n= kg=\escekal lancion-esimo", Ptale cheP(Ek n) = 1 =6 per ognineke tale che gliEk nrisultino indipendenti. (b)P(A 1) = P T6 n=1En n =Q 6 n=1P (En n) = 1 =66 = 0:000021433. (c)P T1 n=1( E1 n)c = limmP Tm n=1( E1 n)c = limm(5 =6)m = 0 )P(A 2) = P S1 n=1E1 n = 1P S 1 n=1E1 n
c = 1P T1 n=1( E1 n)c = 1. 1 (d) Ragionamenti analoghi valgono per \ Esce almeno unksu in niti lanci", per cui P(A 3) = P T6 k=1 S1 n=1Ek n = 1. (e) P(X 1= k 1; : : : ; X n= k n) = P(Ek 1 1; : : : ; Ek n n) = P(Ek 1 1)


P(Ek n n) =P(X 1= k 1)


P(X n= k n) per ognined ogni successionek 1; : : : ; k n. (f ) P(X 1= kjS 6= 7) =P (X 1= k; S 6= 7)P (S 6= 7)=8 > > < > > :5 =6;sek= 1; 1=6;sek= 2; 0;sek= 3;4;5;6; )E[X 1j S 6= 7] = 7 =6 = 1:1667: Infatti P(S 6= 7) =P(X 1= 2 ; X 2= : : :=X 6= 1) +


+P(X 1= : : :=X 5= 1 ; X 6= 2) = 6 (1=6)6 ; P(X 1= 1 ; S 6= 7) =P(X 1= 1 ; X 2= 2 ; X 3= : : :=X 6= 1) +


+P(X 1= : : :=X 5= 1 ; X 6= 2) = 5 (1=6)6 ; P(X 1= 2 ; S 6= 7) = P(X 1= 2 ; X 2= : : :=X 6= 1) = (1 =6)6 : (g) Le variabiliX 7e S 6sono indipendenti per cui P(X 7= kjS 6= 7) = P(X 7= k) = 1=68k)E[X 1j S 6= 7] = E[X 1] = 3 :5: 2 2. Nella risoluzione di equazioni si ha spesso a che fare con coecienti soggetti a incertezza. Si consideri ad esempio il problema di trovare le radici dell'equazione x2 + 2x+Z= 0 nell'incognitax. Si supponga che il termine notoZ, soggetto a incertezza, si possa consi- derare una variabile aleatoria con distribuzione uniforme nell'intervallo (0;1). (a) Si mostri che, quasi certamente, l'equazione ammette due radici reali e distinte, cheindichiamo conXeY(Xindica la piu grande,Yla piu piccola). (b) Si mostri cheYe una trasformazione lineare ane diX. Si dica poi se tali variabili aleatorie ammettono densita congiunta, giusti cando la risposta. (c) Si trovi la legge diXe si veri chi che e assolutamente continua. Si calcolino in parti- colare la funzione di ripartizioneF Xe la densita f Xdi X, disegnando anche il gra co di entrambe. (d) Si veri chi che ancheYe assolutamente continua e si disegni il gra co della sua densita fY. (e) Si dica seXeYsono variabili aleatorie indipendenti, giusti cando la risposta. (f ) Si trovino i valori attesi diXe diY. (g) Si calcoli la covarianza diXeY. Soluzione. (a) Poiche risulta, quasi certamente, 0< Z