Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 24/1/2011. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la propria casella: 2corso da 10 crediti;2corso da 5 crediti (Calcolo delle probabilita (per Ing. Mat)). I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.La funzione \casuale" di un lettore di mp3 seleziona la prima canzone da ripro- durre con uguale probabilita fra i brani presenti; quindi procede escludendo ogni volta solo l'ultimo brano riprodotto e selezionando il successivo con uguale probabilita fra i rimanenti. Numerati da 1 ani brani presenti, si indichino conX 1, X 2e X 3il primo, il secondo e il terzo brano riprodotti. (a) Si introduca un opportuno modello probabilistico per le variabili aleatorieX 1, X 2e X 3: quale distribuzione haX 1? quale distribuzione haX 2sapendo che X 1= i? quale distribuzione haX 3sapendo che X 1= ie cheX 2= j? (b) Trovare la distribuzione congiunta diX 1, X 2e X 3. (c) Trovare la distribuzione congiunta diX 1e X 3. (d) Calcolare la probabilita che il primo e il terzo brano selezionati siano uguali.(e) Trovare la distribuzione diX 3. Le variabili X 1e X 3sono indipendenti? Distratti da una telefonata avete perso il primo brano e ora come secondo selezionato state ascoltando il branoj. (f ) Sapendo quindi cheX 2= j, quanto vale la probabilita che il primo brano selezionato fosse il branoi? Si risponda per ogni possibilei= 1; : : : ; n. (g) Sempre sapendo cheX 2= j, ma non conoscendoX 1, quale distribuzione ha X 3? Continuate ad ascoltare scoprendo che il terzo selezionato e il branok. (h) Sapendo quindi cheX 2= je cheX 3= k, quanto vale ora la probabilita che il primo brano selezionato fosse il branoi? Si risponda per ogni possibilei= 1; : : : ; n. Soluzione (sintetica). (a)X 1 U(f1; : : : ; ng) X 2j X 1= iU(f1; : : : ;b i; : : : ; ng), distribuzione uniforme sugli interi da 1 an, esclusoi X 3j X 1= i; X 2= jU(f1; : : : ;b j ; : : : ; ng) 1 (b) P(X 1= i; X 2= j; X 3= k) =P(X 3= kjX 2= j; X 1= i)P(X 2= jjX 1= i)P(X 1= i) =( 0;sej=ioj=k; 1n 1n 11n 1; sej6 =iej6 =k: (c)P(X 1= i; X 3= k) =P n j=1P (X 1= i; X 2= j; X 3= k) =8 < :1n 1n 1; sei=k; n2n (n1)2 ; sei6 =k: (d)P(X 1= X 3) =P n i=1P (X 1= i; X 3= i) =n1n 1n 1=1n 1. (e)P(X 3= k) =P n i=1P (X 1= i; X 3= k) =1n 1n 1+ ( n1)n 2n (n1)2 =1n , quindi abbiamo X3 U(f1; : : : ; ng). PertantoX 1e X 3non sono indipendenti: P(X 1= 1 ; X 3= 1) 6 = P(X 1= 1) P(X 3= 1). (f ) Sappiamo cheX 2 U(f1; : : : ; ng) (secondo risultato di due estrazioni senza reimmis- sione). PertantoP(X 1= ijX 2= j) =P (X 2= jjX 1= i)P(X 1= i)P (X 2= j)=( 1n 1; sei6 =j; 0;sei=j: (g)P(X 3= kjX 2= j) =P (X 2= j;X 3= k)P (X 2= j)=P n i=1P (X 1= i;X 2= j;X 3= k)P (X 2= j)=( 1n 1; sek6 =j; 0;sek=j; quindiX 3j X 2= jU(f1; : : : ;b j ; : : : ; ng). (h)P(X 1= ijX 2= j; X 3= k) =P (X 1= i;X 2= j;X 3= k)P (X 2= j;X 3= k)=( 1n 1; sei6 =j; 0;sei=j: 2 2. SiaXuna variabile aleatoria con distribuzione uniforme su [0; a], dovea >1 e un parametro. Sia poiY=X1 =a : 1. Si calcolino funzione di ripartizione e densita diY, disegnando il gra co di entrambe. 2. Si calcoliE Y. Su uno stesso spazio di probabilita, per ogni interon, sia ora data una variabile aleatoria Xncon distribuzione uniforme su [0 ; n]. Sia poi Yn= ( X n)1 =n : 3. Dire seY nconverge in legge, e in tal caso trovarne il limite. 4. Dire se la convergenza diY nha luogo anche in probabilita. 5. Dire seX nconverge in legge, e in tal caso trovarne il limite. Soluzione. 1. La funzione di ripartizione si calcola osservando che per 0< t < a1 =a risulta P(Yt) =P(Xta ) =t aa ; mentreP(Yt) = 0 pert0 eP(Yt) = 1 perta1 =a . Derivando tale funzione si trova la densita: f(t) =ta 1 1[0;a1 =a ]( t): 2. Il valore atteso si calcola ad esempio come segue: E Y=E X1 =a =1a Z a 0t 1 =a dt=a 1 =a1 + 1a : 3. Per il punto 1 la funzione di ripartizione diY ne Fn( t) =P(Y n t) =8 > < > :0 ; t0; tnn ; 0< t < n1 =n 1; tn1 =n : Osservando chen1 =n !1 si trova allora lim n!1F n( t) =( 0; t1; 1; t >1; che coincide con la funzione di ripartizioneFdella costanteZ= 1 che e data da F(t) = 1 [1;1)( t), tranne che nel puntot= 1 di discontinuita diF. PertantoY n! 1 in legge. 4. Poiche il limiteZ= 1 e costante la convergenza ha luogo anche in probabilita. 3 5. La funzione di ripartizione di X ne P(X n t) =8 > < > :0 ; t0; tn ; 0< t < n 1; tn: Risulta allora limn!1P (X n t) = 0. Poiche la funzione identicamente nulla non coincide con nessuna funzione di ripartizione (neppure se si eccetuano i punti di dis- continuita di questa) si conclude cheX nnon converge in legge. 4 3. Su uno stesso spazio di probabilita sia data una successione di variabili aleatorieX n aventi tutte legge uniforme su [0;1]. De niamo Yn=1n 21(1 X n); dove >0 e un parametro. 1. Mostrare cheY n2 L1 se e solo se ) =P(Y n>  ) =P Xn> 1 n 2 1=! = n 2 1= e pertantoP(jY nj > )!0 pern! 1. 5