Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 28/6/2011. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la propria casella: 2corso da 10 crediti;2corso da 5 crediti (Calcolo delle probabilita (per Ing. Mat)). I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Il Professor Dairi vuole simulare due estrazioni successive del Lotto col suo calcolatore e chiede a voi una consulenza probabilistica. Innanzitutto vi chiede un'analisi preliminare della distribuzione dei possibili risultati. Detti dunqueY 1e Y 2gli esiti di due estrazioni senzareimmissione da un'urna contenente 90 palline numerate, dovete determinare: (a) la distribuzione diY 1, (b) la distribuzione diY 2j Y 1= iper ogni possibilei= 1; : : : ;90, (c) la distribuzione congiunta diY 1e Y 2, (d) la distribuzione diY 2. Il calcolatore del Professor Dairi e dotato di un generatore di numeri casuali che puo simulare una successione di estrazioniconreimmissione, ovvero puo simulare una successione di variabili aleatorieX ni.i.d. con la stessa distribuzione di Y 1. Per simulare due estrazioni successive del Lotto, il Professor Dairi pensa dunque di simulare la prima conW 1= X 1e la seconda con il numeroW 2ottenuto aspettando il primo numero casuale X ndiverso da X1, oppure ancora con W 2= X 1se sfortunatamente si dovesse veri care X n= X 1per ogni n2. Vi chiede di stabilire se il procedimento e corretto. (e) Peri; j2 f1; : : : ;90g, esprimere l'evento (W 1= i; W 2= j) usando le variabiliX n. (f ) Calcolare la distribuzione congiunta diW 1e W 2. (g) La coppia (W 1; W 2) puo essere dunque usata per simulare ( Y 1; Y 2)? (h) Quanto vale la probabilita di ottenere (W 1; W 2) generando al piu tre variabili X? 1 Soluzione. (a)Y 1 U f1; : : : ;90g , (b)Y 2j Y 1= iU f1; : : : ;b i; : : : ;90g (c)P(Y 1= i; Y 2= j) =P(Y 2= jjY 1= i)P(Y 1= i) =( 190
89; i; j = 1; : : : ;90; i6 =j 0;altrimenti, =( 18010 ; i; j = 1; : : : ;90; i6 =j 0;altrimenti. (d)P(Y 2= j) =90 X i=1P (Y 1= i; Y 2= j) =898010 = 190 per ogni j= 1; : : : ;90, quindi Y2 U f1; : : : ;90g , (e) (W 1= i; W 2= j) =8 > > > > > < > > > > > :+ 1 \ n=1( X n= i);sei=j; S1 n=1 Tn k=1( X k= i) \(X n+1= j) ;sei6 =j; (f ) Sei=j, allora P(W 1= i; W 2= i) =P +1 \ n=1( X n= i)! = limk!1P k \ n=1( X n= i)! = limk!1190 k= 0 ; mentre, sei6 =j, allora P(W 1= i; W 2= j) =1 X n=1P n \ k=1( X k= i) \(X n+1= j)! =1 X n=1P (X 1= i; : : : ; X n= i; X n+1= j) =1 X n=1P (X 1= i)


P(X n= i)P(X n+1= j) =1 X n=1190 n +1=1 X n=2190 n=11 1=90 1190 = 18010 (g) S perche (W 1; W 2) (Y 1; Y 2). 2 (h) P (X 16 =X 2) [(X 1= X 26 =X 3) =P(X 16 =X 2) + P(X 1= X 26 =X 3) =90 X i=1P (X 16 =X 2; X 1= i) +90 X i=1P (X 1= X 26 =X 3; X 1= i) =90 X i=1P (X 1= i; X 26 =i) +90 X i=1P (X 1= i; X 2= i; X 36 =i) =90 X i=1P (X 1= i)P(X 26 =i) +90 X i=1P (X 1= i)P(X 2= i)P(X 36 =i) =90 X i=1190 8990 +90 X i=1190 28990 = 90 190 8990 + 90 190 28990 = 80998100 = 0 :999876543: 3 2. SianoX; Yvariabili aleatorie reali indipendenti con leggi esponenziali di parametro 3 e 5 rispettivamente (in simboli:XE xp(3),YE xp(5) indipendenti). Siano poi Z=X+Y ; T=XY : 1. Calcolare le funzioni caratteristiche diZ,Y,T. 2. Calcolare valore atteso e varianza del vettore aleatorio (X; Z). 3. Mostrare cheZe una variabile assolutamente continua e calcolarne la densita. 4. Mostrare che il vettore (X; Z) e assolutamente continuo e calcolarne la densita. 5.XeZsono variabili indipendenti? 6. Calcolare la densita condizionata diXdatoZ=ze disegnarne un gra co approssi- mato. Soluzione. 1. E' noto cheX( u) =33 iu;  Y( u) =55 iu; da cui si ricava, tenendo conto dell'indipendenza, Z( u) = X( u) Y( u) =1515 u2 8iu;  Y( u) = Y( u) =55 + iu; T( u) = X( u) Y( u) =1515 + u2 2iu: 2. RisultaE X= 1=3,E Z=E X+E Y= (1=3) + (1=5) = 8=15. Tenendo conto dell'indipendenza,V ar(X) = 1=9,V ar(Z) =V ar(X) +V ar(Y) = (1=9) + (1=25) = 34=225, C ov(X; Z) =C ov(X; X+Y) =V ar(X) +C ov(X; Y) =19 + 0 = 19 ; da cuiE X Z! = 13 815 ! ; V ar X Z! = 19 19 19 34225 ! : 3. Si puo usare la formula della convoluzionef Z( z) =R Rf X( x)f Y( zx)dx. Risulta fZ( z) = 0 perz0 mentre perz >0 si ha fZ( z) =Z z 03 e 3x 5e 5(zx) dx=152 ( e 3z e 5z ): In alternativa si puo calcolare la funzione di ripartizione:F Z( z) = 0 perz0, mentre perz >0 FZ( z) =P(X+Yz) =Z z 0Z zx 03 e 3x 5e 5y dydx; da cui derivando si arriva allo stesso risultato. 4 4. ( X; Z) si calcola da (X; Y) con la trasformazione (x=x z=x+y che ha inversa( x=x y=zx e jacobiano dell'inversa in modulo pari a 1. Il supporto del vettore (X; Y) efx > 0; y >0ge viene trasformato nell'insiemefz > x >0gche e pertanto il supporto del vettore (X; Z). Per la nota formula, (X; Z) e pertanto assolutamente continuo con densita fX;Z( x; z) =f X;Y( x; zx)
1 =f X( x)f Y( zx) = 3e 3x 5e 5(zx) = 15e2 x5z perz > x >0, mentref X;Z( x; z) = 0 altrove. 5.XeZnon sono indipendenti, ad esempio perche il supporto della densita congiunta non e un prodotto cartesiano. 6. Perz0 si haf Z( z) = 0 e la densita condizionataf XjZ( x; z) puo essere posta pari a un'arbitraria densita (funzione dix). Perz >0 risulta fXjZ( x; z) =f X;Z( x; z)f Z( z)= 15 e2 x5z 10