Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 19/7/2011. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la casella in caso di corso da 5 crediti:2 I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.State per partecipare ad un gioco simile alla lotteria basato sull'estrazione senza reimmissione di 20 numeri dai primi 80 naturali. Dovete puntare 11 numeri e vincerete qualche premio se usciranno almeno 6 numeri fra gli 11 da voi puntati (il premio aumenta all'aumentare dei numeri coincidenti). (a) Determinare distribuzione, valore atteso e deviazione standard del numero di coin-cidenzeX, ovvero del totale di numeri estratti che coincideranno con quelli da voi puntati. (b) Quanto vale la probabilitapdi vincere qualche cosa? Se la calcolatrice a vostra disposizione non vi consente di trovare il valore esatto dip, indicate solo la formula che ne determina il valore e nel seguito usatep= 0:0243. (c) Sapendo che avete vinto un premio, con quale probabilita si tratta di quello massimo? Decide di giocare anche Mim che di solito si lascia trasportare e continua a puntare no a quando non vince qualche premio. Partecipare a una giocata costa 5 euro e Mim ha a disposizione 100 euro. (d) Quanti euro ci vogliono mediamente per continuare a giocare no alla vincita di qualchepremio? (e) Con quale probabilita Mim spendera tutto per giocare senza vincere niente? 1 Soluzione. (a)Xha legge ipergeometrica, e precisamenteXG(80;11;20), per cuiEX=11
2080 = 2 :75 e X=q20 1180 6980 6079 =p1 :801424051 = 1:342171394. (b)p=11 X k=6 69 20k! 11 k! 80 20! = 0:0243. (c)P(X= 11jX6) =P (X= 11)P (X6)= 1p 69 9! 80 20! = 6:61
10 7 . (d)N= numero di giocate per la prima vincita di qualche premioG(p), cioeP(N= k) =p(1p)k 1 ,k= 1;2;3; : : :. S= euro spesi no alla prima vincita di qualche premio = 5N ES= 5EN= 5=p= 205:76 (e)P(S >100) =P(N >20) = (1p)20 = 0:6114. 2 2. Vengono accesecontemporaneamentencandele di durateX kaleatorie, indipendenti, tutte di legge uniforme su [0;2] (cioeX k U[0;2]), dove il tempo e misurato in ore. SiaT n la durata della luce dellencandele, ovvero l'istante in cui si spegne l'ultima candela. (a) Determinare la legge diT n. (b) Determinare valore atteso e varianza diT n. Supponiamo ora di poter aumentare ad arbitrio il numerondi candele da accendere. (c) Mostrare che pern!+1la successione di durateT nconverge in legge a una costante e determinarla. (d) Determinare il limite in legge din(T n ) e trovare la velocita di convergenza diT n verso. (e) Dimostrare cheT ne una successione monotona e che converge a quasi certamente. Soluzione. (a)T n= max fX 1; : : : ; X ng per cuiF Tn( t) =F X1( t)n =8 > > < > > :0 ; t >0; (t=2)n ;0t2; 1; t >2;. (b) Si deduce dal punto precedente cheT ne una variabile assolutamente continua con densitaf Tn( t) = 1 (0;2)( t)n2 n tn 1 , da cuiET n=R 2 0tf Tn( t)dt=2 nn +1, E[T2 n] =R 2 0t2 fTn( t)dt=4 nn +2, Var T n= E[T2 n] (ET n)2 =4 n( n+1)2 (n+2). (c) Risulta, per ognit2R,F Tn( t)!1 [2;1)( t) e quest'ultima e la funzione di ripartizione della costante pari a 2. Per un noto criterio si conclude cheT n! 2 in legge. Si puo anche notare che risultaET n! 2 e VarT n! 0 per cuiT n! = 2 inL2 ,L1 , probabilita e legge. (d)F n(T n 2)( t) =8 > > < > > :0 ; t 0;!( et= 2 ; t0; 1; t >0;che e una funzione di ripartizione perche continua, monotona, con limite 0 a1e 1 a +1. La velocita di convergenza e pertanton. (e) Qualsiasi sia lo spazio campionario dove e de nita la successione di variabiliX k, la successioneT ne evidentemente crescente ed e inoltre limitata dalla costante 2. Pertanto Tnconverge quasi certamente. D'altro canto, poiche la convergenza quasi certa implica quella in legge, sapendo gia cheT n! 2 in legge, e che il limite in legge e unico, concludiamo cheT n! 2 quasi certamente. 3 3. In assenza di guasti una macchina produce pezzi buoni con probabilitape difettosi con probabilita 1p, indipendentemente uno dall'altro. Il suo funzionamento e pertanto descritto da una successione di variabili indipendentiY n( n1) con legge di Bernoulli di parametrop(cioeY n B(p)) che vanno intese nel modo seguente: Yn=( 1 se l'nesimo pezzo e buono, in assenza di guasti, 0 se l'nesimo pezzo e difettoso, in assenza di guasti. Introduciamo ora l'eventualita di un guasto della macchina mediante un variabile aleatoria Nche indica il momento di un guasto irreversibile a partire dal quale tutti i pezzi prodotti sono difettosi. Supponiamo cheNsia indipendente dalleY ie abbia legge geometrica di parametroq(NG(q), cioeP(N=k) =q(1q)k 1 perk= 1;2;3; : : :). In questa situazione le variabili aleatorieX n( n1) che si interpretano Xn=( 1 se l'nesimo pezzo e buono, 0 se l'nesimo pezzo e difettoso, sono legate alle precedenti dalle relazioni Xn=( Ynse n < N ; 0 senN :; ovveroX n= Y n1 fN >ng: Notiamo che le variabiliX nsono anch'esse di Bernoulli e pertanto le loro leggi (o le loro leggi condizionate a un eventoA) sono completamente speci cate una volta che si sia calcolato P(X n= 1) (o P(X n= 1 jA)). (a) Calcolare la legge diX 1. (b) Calcolare la legge diX 2. (c) Calcolare la legge diX n. (d) Calcolare la legge diX ncondizionata a N=k. (e) Calcolare la legge diNcondizionata aX n= 1. (f ) Calcolare la legge congiunta diX 1e X 2nel caso un cui p= 1=4,q= 1=3. Soluzione. (a)P(X 1= 1) = P(Y 1= 1 ; N >1) =P(Y 1= 1) P(N >1) =p(1q), cioeX 1 B(p(1q)). (b)P(X 2= 1) = P(Y 2= 1 ; N >2) =P(Y 2= 1) P(N >2) =p(1q)2 , cioeX 1 B(p(1q)2 ). (c)P(X n= 1) = P(Y n= 1 ; N > n) =P(Y n= 1) P(N > n) =p(1q)n , cioeX 1 B(p(1q)n ). (d) P(X n= 1 jN=k) =P (X n= 1 ; N=k)P (N=k)=( 0 senk; P(Y n=1 ;N=k)P (N=k)= P(Y n= 1) = psen < k: 4 Percio L(X nj N=k) =( 0se nk; B(p) sen < k: (e) Si haP(N=kjX n= 1) = 0 se kn, mentre perk > n P(N=kjX n= 1) =P (X n= 1 jN=k)P(N=k)P (X n= 1)= pP (N=k)P (X n= 1)= pq (1q)k 1p (1q)n= q(1q)k n1 L(NjX n= 1) coincide pertanto con la legge di N+n, cioe la leggeG(q) traslata din. (f ) Notiamo preliminarmente cheP(N >2) = (1q)2 = 4=9. Risulta poi, tenendo conto dell'indipendenza, P(X 1= 0 ; X 2= 0) = P(N= 1) +P(N= 2; Y 1= 0) + P(N >2; Y 1= 0 ; Y 2= 0) =13 + 13 23
34 + 49
34
34 = 34 P(X 1= 1 ; X 2= 0) = P(N= 2; Y 1= 1) + P(N >2; Y 1= 1 ; Y 2= 0) =13 23
14 + 49
14
34 = 536 P(X 1= 0 ; X 2= 1) = P(N >2; Y 1= 0 ; Y 2= 1) =49
34
14 = 112 P(X 1= 1 ; X 2= 1) = P(N >2; Y 1= 1 ; Y 2= 1) =49
14
14 = 136 5