Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 15/9/2011. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la casella in caso di corso da 5 crediti:2 I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Siaf(x),x2Rla funzione densita di una probabilitasulla retta reale, e sia g(x) =12 f (x) +12 f (x); x2R:(1) (a) Mostrare chege anch'essa funzione densita di una probabilita. (b) Esprimere la funzione caratteristica dimediante la funzione caratteristica di. Sia oraf ( x) = 1 (0;1)( x)e x , sicche la corrispondente probabilita e la legge espo- nenziale di parametro >0. (c) Scrivere la densitag associata a f mediante la formula (1), e disegnarne un gra co. (d) Calcolare la funzione caratteristica della probabilita che ammette densita g . (e) Calcolare media e varianza di . Soluzione. (a)ge nonnegativa eR Rg (x)dx= 1. (b) ^(u) =12 R Rf (x)eiux dx+12 R Rf (x)eiux dx=12 R Rf (x)eiux dx+12 R Rf (x)e iux dx= 12 ^ (u) +12 ^ (u). (c)g ( x) =2 e jxj , detta densita di Laplace di parametro. (d) Usando la formula del punto (b) e il fatto che ^ ( u) ==(iu) risulta ^  ( u) = 2 2 +u2: (e) La media e nulla per la simmetria dig . La varianza si puo calcolare mediante la densita oppure derivando la funzione caratteristica: si trova ^ 00 ( u) = 22( 2 +u2 )2+8 u2 2( 2 +u2 )3; da cui ^00 (0) = 2=2 e il valore della varianza pari a 2=2 . 1 2. Sul mercato di Helda sono presenti 100 diversi titoli azionari e, indicato conX k il valore fra un mese di un 1 eldo (valuta di Helda) investito nel titolok, le variabiliX k risultano esponenziali indipendenti di valore atteso 1. Lara intende investire in azioniN eldi e vuole confrontare due possibili strategie di investimento: (a)Neldi investiti nel titolo 1, (b)Neldi investiti nei primiNtitoli, 1 eldo per titolo. Si consideri inizialmenteN= 5 e si indichino conY ae Y bil capitale di Lara fra un mese seguendo rispettivamente la strategia (a) e la strategia (b). 1. ScrivereY ae Y bin funzione delle variabili X k. 2. Confrontare valore atteso e varianza diY ae Y b. 3. Determinare le leggi diY ae Y b. 4. Con quale delle due strategie e minore la probabilita che Lara in un mese perda piudella meta del proprio capitale? Si supponga invece ora che gli eldi a disposizione di Lara sianoNB(25;0:2), frutto di una qualche lotteria,Nindipendente dalleX k, e si indichi con W ail capitale di Lara fra un mese ottenuto seguendo la strategia (a). 5. ScrivereW ain funzione delle variabili X ke N. 6. Confrontare i valori attesi diY a, Y b, W a. 7. Confrontare le varianze diY a, Y b, W a. Soluzione. 1.Y a= 5 X 1e Y b=P 5 k=1X k. 2.EY a= 5 EX 1= 5 = EY b=5 X k=1E X k, VarY a= 25 Var X 1= 25 >VarY b=5 X k=1Var X k= 5 3.Y a= 5 X 1 5E(1) =E(1=5) eY b=5 X k=1X k (5;1). 4.P(Y a< 2:5) =F Ya(2 :5) = 1e 1=2 = 0:3935 P(Y b< 2:5) =F Yb(2 :5) = 1e 2:54 X k=02 :5kk != 0 :1088 per cui la probabilita e minore con la strategia di investimento (b). 5.W a= N X 1. 2 6. EW a= E[N X 1] = E[N]E[X 1] = 5 per l'indipendenza di NeX 1. Pertanto EY a= EY b= EW a= 5. 7. Sfruttando l'indipendenza diNeX 1, VarW a= Var[ N X 1] = Eh (N X 1)2i  E[N X 1] 2 =Eh N2i Eh X2 1i  E[N]E[X 1] 2 = Var[N] +E[N]2  Var[X 1] + E[X 1]2  E[N]E[X 1] 2 = (4 + 25)(1 + 1)25 = 33: Pertanto VarY b= 5