Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 23/9/2011. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la casella in caso di corso da 5 crediti:2 I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.La sig.na Ikue sta per cercare frettolosamente una lettera che si trova con uguale probabilita in uno deglincassetti dell'armadio dell'ucio. La sig.na Ikue controllera tutti i cassetti uno dopo l'altro, ma, essendo la ricerca frettolosa, per ogni cassettok, se anche questo dovesse contenere la lettera, ci sara solo una probabilitap kdi trovarla. Si risponda alle seguenti domande introducendo dapprima tutti gli eventi necessari per formalizzare il problema con un modello probabilistico e rappresentandoli gra camente. (a) Con quale probabilita la lettera si trova nel cassettok? (b) Con quale probabilita la lettera verra trovata nel cassettok? (c) Con quale probabilita la lettera verra trovata durante la ricerca frettolosa? La sig.na Ikue ha gia controllato frettolosamente il primo cassetto senza trovare la lettera. (d) Se la lettera non e stata trovata nel primo cassetto, con quale probabilita si trova nelprimo cassetto? (e) Tracciare un gra co qualitativo che mostri la dipendenza della probabilita calcolata in(d) dap 1. Trovare poi i valori di p 1per cui tale probabilita e massima o minima. Soluzione.Per ognik= 1; : : : ; nsiano Ak= la lettera si trova nel cassetto k, Bk= la lettera durante la ricerca frettolosa viene trovata nel cassetto k, dove gliA ksono una partizione dello spazio campionario e dove B k A kper ogni k. (a)P(A k) = 1 =nper ognik= 1; : : : ; n. (b)P(B k) = P(B kj A k) P(A k) + P(B kj Ac k) P(Ac k) = p k1n + 0 = p kn . (c) Essendo gli eventiB kincompatibili, si ha P n [ k=1B k! =n X k=1P (B k) =n X k=1p kn . (d)P(A 1j Bc 1) =P (Bc 1j A 1) P(A 1)P (Bc 1j A 1) P(A 1) + P(Bc 1j Ac 1) P(Ac 1)=(1 p 1)1n (1 p 1)1n +n 1n = 1 p 1n p 1. (e) Pern= 1, ovviamenteP(A 1j Bc 1) 1. Pern2,P(A 1j Bc 1) e una funzione strettamente decrescente di p 1. Ammette massimo perp 1= 0 e minimo per p 1= 1. 1 2. Il negozio AnimaVinilica vende per corrispondenza attraverso il proprio sito internet dove mediamente giunge un ordine al giorno. Il numero di ordini ricevuto in dato giorno e una variabile aleatoria con distribuzione di Poisson e tali variabili sono tutte indipendenti se riferite a giorni diversi. Calcolare: (a) la probabilita di ricevere almeno 1 ordine in 1 giorno, (b) la distribuzione del numero totale degli ordini che giungono in 3 giorni, (c) la probabilita di ricevere almeno 3 ordini in 3 giorni, (d) la probabilita di ricevere almeno 1 ordine al giorno per 3 giorni consecutivi e confrontarecol punto (c), (e) la probabilita di ricevere almeno 3 ordini in 3 giorni, sapendo che ne sono arrivati almeno2 in 3 giorni, (f ) la probabilita di ricevere almeno 3 ordini in 3 giorni, sapendo che ne sono arrivati almeno2 nei primi 2 giorni, Soluzione.SiaX n= numero di ordini ricevuti il giorno n)X ni.i.d. P(1). (a)P(X 1 1) = 1e 1 = 0:6321, (b)3 X n=1X n P(3) per l'indipendenza delleX n, (c)P 3 X n=1X n 3! = 1P 3 X n=1X n 2! = 12 X k=0e 33kk != 0 :5768, (d)P(X 1 1; X 2 1; X 3 1) =P(X 1 1)P(X 2 1)P(X 3 1) = 1e 1 3 = 0:2526 percheX 1, X 2, X 3sono i.i.d. P(1); poiche3 \ n=1( X n 1) 3 X n=1X n 3 la probabilita e minore di quella calcolata in (c), (e) P 3 X n=1X n 3 3 X n=1X n 2! =P P3 n=1X n 3P  P3 n=1X n 2 =1 P 2 k=0e 33kk !1 P 1 k=0e 33kk != 0 :57680 :8009 = 0:7202; 2 (f ) Sfruttando l'indipendenza delle X n P 3 X n=1X n 3 2 X n=1X n 2! =P P3 n=1X n 3;P 2 n=1X n 2P  P2 n=1X n 2 =P P3 n=1X n 3;P 2 n=1X n= 2 +P P3 n=1X n 3;P 2 n=1X n 3P  P2 n=1X n 2 =P (X 3 1)P P2 n=1X n= 2 +P P2 n=1X n 3P  P2 n=1X n 2 = 1e 1 e 2 22 =2! + 1P 2 k=0e 22kk !1 P 1 k=0e 22kk != 0 :8324 3 3. Si consideri la probabilita sulla retta reale che ammette densita f( x) =2 e jxj ; x2R (detta densita di Laplace) dipendente da un parametro >0, e avente funzione caratteri- stica ^  ( u) = 2 2 +u2; u 2R: Sia poiXuna variabile aleatoria avente legge . (a) Calcolare la funzione caratteristica della variabileY= X, dove >0 e un dato numero reale. Sia oraX nuna successione di variabili aleatorie reali aventi leggi  n, dove  n> 0. (b) Studiare la convergenza in legge diX nnel caso che  n=pn e poi nel caso che n= 1 =n. Sia oraY n=  nX n. (c) Studiare la convergenza in legge diY nnel caso  n=pn , al variare di >0. (d) Studiare la convergenza in legge diY nnel caso  n= 1 =n, al variare di >0. (e) Indicare la velocita di convergenza diX nnei casi considerati nel punto (b) quando il limite in legge diX ne una costante. Soluzione. (a) La funzione caratteristica diYe Y( u) =E[eiu  X ] = X(  u) = 2 2 +2  u2: (b) Se n=pn allora Xn( u) = ^ n( u) =nn +u2! 1 eX n! 0 in legge per il teorema di Levy. Se invece n= 1 =nallora Xn( u) = ^ n( u) =n 2n 2 +u2! 1 f0g( u): Tale funzione e discontinua, e pertanto non e funzione caratteristica di una probabilita eX nnon converge in legge. (c) La funzione caratteristica diY ne Yn( u) = Xn(  nu ) = 2 n 2 n+ 2  nu2: Se n=pn allora Xn( u) =nn +n u2!8 > < > :1 ;se 1; 1=(1 +u2 );se= 1: PercioY n! 0 in legge se 1, converge in legge verso 1(la legge di Laplace standard) se = 1. 4 (d) Se  n= 1 =nallora Xn( u) = Xn(  nu ) =11 + n2 2 u2; !8 > < > :1 ;se >1; 1f0g( u);se 1, non converge in legge se