Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 17/7/2012. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Alla Caduta delle Dodici Colonie sono sopravvissuti 47· 954 coloni, fra cui si nascon- dono 12 cyloni, robot senzienti dall’aspetto umano, alcuni dei quali inconsapevoli della propria natura. (a) Quanto vale la probabilit`a che un colono sia un cylone? Il Dottor Gaius Baltar progetta un rivelatore di cyloni per poterli scovare. Il rivelatore non pu`o essere per`o perfetto. Indichiamo quindi conpla probabilit`a che un essere umano venga classificato erroneamente cylone e conqla probabilit`a che un cylone venga classificato erroneamente essere umano. (b) Quanto vale la probabilit`a che un colono venga classificato cylone? Il Tenente Sharon ”Boomer” Valerii chiede al Dottor Baltar di potersi sottoporre al rivela- tore. (c) Se il Tenente Boomer viene classificata cylone, quanto vale la probabilit`a che lo sia veramente? (d) Quale condizione devono soddisfarepeqaffinch`e la probabilit`a determinata in (c) superi il 99%? (e) Quanto vale invece la probabilit`a determinata in (c) sep=q= 0,001? Soluzione.Consideriamo i seguenti eventi relativi all’uso del rivelatore con un colono scelto a caso fra i sopravvissuti: • U= il colono `e un umano • C= il colono `e un cylone • P= il rivelatore classifica il colono come cylone • N= il rivelatore classifica il colono come umano per cuiP(U) =47 · 942 47· 954= 0 .99974976,P(C) =12 47· 954= 0 .00025024, P(P|U) =p,P(N|C) =q. (a) P(C) =12 47
954= 0 .00025024 (b) P(P) =P(P|U)P(U) +P(P|C)P(C) =p47
942 47
954+ (1 −q)12 47
954 1 (c)P(C|P) =P (P|C)P(C) P(P|C)P(C) +P(P|U)P(U)= 12 (1 −q) 12 (1−q) + 47· 942p (d) 12 (1−q) 12 (1−q)+47
942p> 0.99⇐⇒p 0 tale cheZ abbia legge uniforme in (0,1). Soluzione. (a) f(x, y) = 1 C( x, y)π− 1 , ϕ(u, v) =∫ Ce i (ux+vy)1 πdxdy. (b) FZ( t) =P(Z≤t) = 0 pert≤0, = 1 pert≥1, e per 0< t