Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 5/9/2012. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.SiaXuna variabile aleatoria assolutamente continua con distribuzione di Pareto, cioe avente densita fa;b( x) =b a b xb +1I [a;+1)( x); a >0; b >0: (a) Veri care la normalizzazione dif a;bper ogni a >0 eb >0 e disegnarne un gra co qualitativo. (b) Calcolare la funzione di sopravvivenzaP(X > t),t2R. Dedurre poi la funzione di ripartizioneF a;be disegnarne un gra co qualitativo. (c) Determinare il quantileq di ordine 0 <  0,b >0 ec2R, determinare la distribuzione diXcondizionata aX > c. [Si puo ragionare ad esempio sulla funzione di sopravvivenza condizionataP(X > tjX > c) o sulla funzione di ripartizione condizionataP(XtjX > c).] 1 Soluzione. (a)∫+1 1f a;b( x) dx=b ab∫ +1 a1 xb +1d x=ab[ 1 xb] +1 a= 1 per ogni a >0 eb >0. (b) Perta,P(X > t) =∫ 1 tf a;b( x) dx=b ab∫ 1 t1 xb +1d x=( a t) b , mentreP(X > t) = 1 pert < a. Pertanto Fa;b( t) =P(Xt) = 1P(X > t) =( 1( a t) b) I(a;+1)( t): (c) Fa;b( q ) = ()q =a (1)1 =b. (d) E[Xk ] =∫ +1 ax k b ab xb +1d x=∫ +1 ab a b xb k+1d x k. QuindiX2Lk per ognia >0 eb > k. In tal caso E[Xk ] =b a k bk∫ +1 a( bk)ab k xb k+1d x=b a k bk (e) Pera!0 ab ssato,F a;b( t)!I (0;+1)( t) per cuiX!0,  Pera!+1ab ssato,F a;b( t)!0 per cuiXnon ammette limite,  Perb!0 ada ssato,F a;b( t)!0 per cuiXnon ammette limite,  Perb!+1ada ssato,F a;b( t)!I (a;+1)( t) per cuiX!a. (f ) RisultaP(X > tjX > c) =P (X > t; X > c) P(X > c) =              P (X > c) P(X > c)= 1 ;setc; P(X > t) P(X > c)=( a t) b( a c) b =( c t) b ;set > ca; P(X > t) P(X > c)= P(X > t)set > c; c < a; oppure P(XtjX > c) =P (Xt; X > c) P(X > c)=  P (Xt);seca; Fa;b( t)F a;b( c) 1F a;b( c)= F c;b( t);sec > a: In de nitiva, XjX > cF a;bse ca, XjX > cF c;bse c > a. 2 2. (Approssimazione probabilistica di.)SianoX,Yvariabili aleatorie reali indipen- denti con legge uniforme in [1;1]. Indicando conCil cerchio con centro nell'origine e raggio unitario, sia Z={ 1 se (X; Y)2C; 0 se no. (a) Determinare la legge di (X; Y). (b) Determinare la legge diZ. La maggior parte dei computer puo generare una successione i.i.d. di variabili aleatorie uniformi, e pertanto anche una successione i.i.d. di variabiliZ n, ognuna con la stessa legge diZ. Sia n= 4 Zn=4 nn ∑ i=1Z i: (c) Mostrare che npuo essere usato per approssimare il valore del numero , determinando in quali modi ha luogo la convergenza n! . (d) Determinare la legge asintotica di n. (e) Calcolare un intervallo di con denza asintotico di livello 1basato su  n. (f ) Supponendo ora di conoscere il vero valore di, calcolare in modo approssimato la probabilita che nfornisca il numero  no alla terza cifra decimale esatta quando n= 107 . 3 Soluzione. (a)(X; Y) ha legge uniforme nel quadratoQ= [1;1][1;1]. (b) Zha legge di BernoulliB(p) con parametro p=P(Z= 1) =P((X; Y)2C) =area( C) area(Q)=  4: (c) Per la legge dei grandi numeri n= 4 Zn! 4E(Z) = 4p=quasi certamente e inL2 . (d) Per il teorema limite centrale Zn AN(p; p(1p)=n), da cui  n AN(; (4)=n). (e) Risultap n n  √ n(4  n)= p n n  √ (4)√ (4) n(4  n)! N(0;1) in legge, per l'asintotica normalita di ne grazie al teorema di Slutsky, dato che √ (4) n(4  n)! 1 quasi certamente. L'intervallo cercato e pertanto n z =2√ n(4  n) n. (f ) La variabileQ:= n  p (4)=nha approssimativamente legge N(0;1). Pertanto, posto x=10 3p n p (4)= 1 :93, risulta P(j n j