Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 29/1/2013. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Si considerino due variabili aleatorieXedYcongiuntamente continue di densit`a f(X;Y)( x, y) =αe y √ xI S( x, y) doveS={(x, y) :x >0, y >0, y >√ x}. (a) Determinare la costanteα. (b) Le variabiliXedYsono indipendenti? (c) Calcolare le densit`a marginali diXedY. Sia oraW=Y−√ X (d) Verificare seW`e q.c. ben definita. (e) Calcolare la legge congiunta diXeW. (f ) Le variabiliXeWsono indipendenti? (g) Riconoscere la legge diWe trovare la varianza diY−√ X. 1 Soluzione (sintetica). (a)1 =∫ R2f (X;Y)( x, y) dxdy=α∫ +1 0d y∫ y2 0e y √ xd x= 2αper cuiα= 1/2. (b) Le variabiliXedYNON sono indipendenti perch´eSnon `e un prodotto cartesiano. (c) fX( x) =∫ +1 1f (X;Y)( x, y) dy=∫ +1 p xe y 2√ xd y I (0;+1)( x) =e p x 2√ xI (0;+1)( x) fY( y) =∫ +1 1f (X;Y)( x, y) dx=∫ y2 0e y 2√ xd x I (0;+1)( y) =ye y I(0;+1)( y) (d) X≥0 q.c. per cuiW`e q.c. ben definita. (e) Posto (X, W) =h(X, Y) conh(x, y) = (x, y−√ x) per cui h∈ C1 (S), J h( x, y) =( 1 0 −1 2p x1) ,|J h| ≡ 1, h 1 (x, w) = (x, w+√ x), h(S) ={(x, w) :x >0, w >0}. e quindi (X, W) `e vettore aleatorio continuo con densit`a f(X;W)( x, w) =e p xw 2√ xI (0;+1)( x)I (0;+1)( w) (f ) Le variabiliXeWsono indipendenti perch´ef (X;W)si fattorizza. (g) W∼ E(1) per cuiE[Y−√ X] = 1. 2 2. SiaNuna variabile aleatoria discreta, uniformemente distribuita su{0,1, . . . , K}, doveK≥1 `e un parametro intero. Sia poiXun’altra variabile discreta che, condizionata- mente aN=n∈ {0,1, . . . , K}, prende i valori 0 encon uguale probabilit`a. (a) Scrivere la funzione di massa di probabilit`a congiunta diNeX. (b) Trovare la funzione di massa di probabilit`a diX. (c) Calcolare il valore atteso diX. (d) Calcolare la funzione caratteristica diX. (e) Studiare la convergenza della legge diXperK→ ∞. 3 Soluzione. (a) P(X=k, N=n) =P(X=k|N=n)P(N=n) =P(X=k, N=n)1 K+ 1 =    1 21 K+ 1, sek=n≥1 o sek= 0, n≥1; 1 K+ 1, sek=n= 0. (b) Sek≥1,P(X=k) =P(X=k, N=k) =1 21 K+1. Pertanto P(X= 0) = 1−1 2K K+1. (c) RisultaE[X|N=n] =n/2, da cui E X=E[E[X|N]] =K ∑ n=01 K+ 1n 2= K 4. Allo stesso risultato si poteva arrivare usando la legge diXcalcolata al punto (b). (d) La funzione caratteristica diXcondizionata aN=n`eE[eiuX |N=n] = (eiun + 1)/2. Perci`o ϕX( u) =E[E[eiuX |N]] =K ∑ n=01 K+ 1e iun + 1 2 =1 2+ 1 21 K+ 1K ∑ n=0( eiu )n =1 2+ 1 21 K+ 11 −eiu (K+1) 1−eiu, peru̸ = 2kπ(kintero), mentreϕ X(2 kπ) = 1. Allo stesso risultato si poteva arrivare usando la legge diXcalcolata al punto (b). (e) Peru̸ = 2kπeK→ ∞risultaϕ X( u)→1/2. Poich´e la funzione limite `e discontinua non pu`o essere funzione caratteristica e pertanto la legge diXnon converge perK→ ∞. 4 3. Petyr Baelish vende a Lord Varys il diritto di comprare fra un anno 50 kg di acciaio di Valyria al prezzo di 100 monete d’oro. Petyr Baelish non conosce il costoXdi 50 kg di acciaio di Valyria fra un anno, ma ritiene che i suoi possibili valori abbiano una distribuzione normale di mediaµ= 100 e varianzaσ2 = 81. Ovviamente Lord Varys eserciter`a il suo diritto solo se sar`aX >100 e quindi Petyr Baelish dovr`a pagare per aggiungere la differenza Y={ 0,seX≤100, X−100,seX >100. (a) Determinare la funzione di ripartizione diY, in termini della funzione di ripartizione della legge normale standard, e tracciarne un grafico qualitativo. (b) Si tratta di una variabile aleatoria continua? Discreta? (c) Determinare la probabilit`a che Petyr Baelish non debba aggiungere soldi fra un anno. (d) Determinare il primo e il terzo quartile diY. (e) Determinare la media diY. (f ) Se il diritto di acquisto viene venduto al suo prezzo equo, ovvero ad un prezzo pari al valore atteso diY, quanto vale la probabilit`a che Petyr Baelish abbia nel complesso un guadagno positivo? 5 Soluzione. Sappiamo cheX∼N(100, σ2 ), conσ= 9, per cuiZ=X 100 ∼ N(0,1), con funzione di ripartizione Φ e punti percentualiz . (a) FY( t) =P(Y≤t) ={ 0,set 0,per cui E[Y] =E[h(Z)] =∫ +1 0σz e z2 =2 √ 2πd z=σ √ 2π= 3 .59. (f ) P(  p 2− Y >0) =P( X−100