Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 27/6/2013. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Date due variabili aleatorieZ 1e Z 2normali standard ed indipendenti, si consideri il vettore aleatorio (X, Y) = (Z 1, Z 1Z 2). (a) Calcolare media e varianza del vettore (X, Y). (b) Mostrare che risultaE[X2 Y2 ] = 3. (c) Le variabiliXedYsono indipendenti? (d) Il vettore (X, Y) `e gaussiano? (e) Calcolare la probabilit`aP(X > Y). (f ) Sapendo cheE[ exp{iuZ 1+ i vZ 1Z 2} Z 2] = exp{ −( u+vZ 2)2 2} per ogniuevreali, calcolareφ (X;Y), la funzione caratteristica del vettore ( X, Y). Soluzione. (a) E[(X, Y)] = (E[Z 1] ,E[Z 1Z 2]) = ( E[Z 1] ,E[Z 1] E[Z 2]) = (0 ,0), mentre Var(X) = 1,Var(Y) =E[Y2 ] =E[Z2 1Z2 2] = E[Z2 1] E[Z2 2] = 1 , Cov(X, Y) =E[X Y] =E[Z2 1] E[Z 2] = 0 ,Var[(X, Y)] =( 1 0 0 1) . (b) E[X2 Y2 ] =E[Z4 1] E[Z2 2] = 3 dato che E[Z4 1] = 3. (c) Le variabiliXedYNON sono indipendenti, dato cheE[X2 Y2 ] = 3̸ =E[X2 ]E[Y2 ] = 1. (d) Il vettore (X, Y) NON `e gaussiano, dato che le variabili sono scorrelate, ma dipendenti. (e) P(X > Y) =P(Z 1> Z 1Z 2) = P(Z 1> 0, Z 2< 1) +P(Z 1< 0, Z 2> 1) =P(Z 1> 0)P(Z 2< 1) +P(Z 1< 0)P(Z 2> 1) =1 2P (Z 2< 1) +1 2P (Z 2> 1) =1 2. (f ) φ(X;Y)( u, v) =E[ exp{iuX+ ivY}] =E[ E[ exp{iuZ 1+ i vZ 1Z 2} Z 2] ] =E[ exp{ −( u+vZ 2)2 2}] =1 √ 2π∫ exp{ −( u+vt)2 2− t 2 2} dt =1 √ 2π∫ exp    − 1 2  ( t+uv 1+v2) 2 1/(1 +v2 )+ u 2 1 +v2      d t=exp{ −1 2u 2 1+v2} √ 1 +v2. 1 2. Viene fatta una scelta a caso, con uguale probabilit`a, tra una moneta rossa e una blu. La moneta rossa `e equilibrata, mentre in quella blu la probabilit`a di esta” `e pari a p∈(0,1). Poi la moneta scelta viene lanciata due volte. SiaXil numero di este”. (a) Calcolare la probabilit`a dell’evento{X= 2}sapendo che `e stata scelta la moneta blu. (b) Calcolare la probabilit`a dell’evento{X= 2}. (c) Sapendo cheXha preso il valore 2, con quale probabilit`a `e uscita la moneta blu? (d) Trovare la funzione di massa di probabilit`a diX. (e) Calcolare la media diX. (f ) Calcolare il quantile di ordine 0.25 della legge diX, al variare dip. Soluzione.SiaIl’evento “`e stata scelta la moneta rossa”. (a) P(X= 2|Ic ) =p2 . (b) Utilizzando il teorema della partizione,P(X= 2) =P(X= 2|I)P(I) +P(X= 2|Ic )P(Ic ) =1 41 2+ p2 1 2= 1 8+ 1 2p 2 . (c) Per il teorema di Bayes,P(Ic |X= 2) =P (X= 2|Ic )P(Ic ) P(X= 2)=p 2 1 2 1 8+1 2p 2=4 p2 1 + 4p2. (d) Perm= 0,1,2, utilizzando il teorema della partizione, P(X=m) =P(X=m|I)P(I) +P(X=m|Ic )P(Ic ) =( 2 m) ( 1 2) m( 1 2) 2m 1 2+( 2 m) pm (1−p)2 m1 2, da cuiP(X= 0) =1 8+ 1 2(1 −p)2 P(X= 1) =1 4+ p(1−p) P(X= 2) =1 8+ 1 2p 2 (e) E X=1 4+ p(1−p) + 2( 1 8+1 2p2) =1 2+ p. (f ) Si ha sempreP(X= 1)>0.25. PoiP(X= 0)1/2. Perci`o z0:25= 1 per p >1/2,z 0:25= 0 per p