Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 16/7/2013. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.In occasione delle frequenti mancanze di elettricita, il signor Lumiere ricorre alle tre torce elettriche di casa, cercando di accenderle in sequenza e fermandosi quando ne trova eventualmente una funzionante. Capita infatti che con probabilitapogni torcia venga trovata scarica, ciascuna indipendentemente dalle altre. SiaXla variabile aleatoria che conta il numero di torce chenonsi accendono. (a) Calcolare la probabilita che il signor Lumiere resti al buio, in funzione dip. (b) Trovare la legge diXin funzione dip. (c) Calcolare il valore atteso diXin funzione dip. Si supponga ora che il valore dipsia estratto a caso con una legge avente densita f(x) = 6x(1−x)1 (0;1)( x). (d) Calcolare la probabilita che il signor Lumiere resti al buio. (e) Calcolare il valore atteso diX. Soluzione. (a) E' la probabilita di 3 \successi" in un processo di Bernoulli:P(X= 3) =p3 . (b) SeX=k∈ {0;1;2}ci sono statik\successi" seguiti da un \insuccesso"; pertanto P(X= 0) = 1−p P(X= 1) =p(1−p) P(X= 2) =p2 (1−p) P(X= 3) =p3 (c) E(X) =p(1−p) + 2p2 (1−p) + 3p3 =p+p2 +p3 : (d) SiaYla variabile aleatoria pari al valore dipestratto.Yha densitafe la legge calcolata al punto (b) va ora intesa come la legge diXcondizionata aY=p. Pertanto P(X= 3) =∫ RP (X= 3|Y=p)f(p)dp=∫ Rp 3 f(p)dp=∫ 1 0x 3 6x(1−x)dx=1 5: (e) Il valore atteso calcolato al punto (b) e il valore atteso condizionato diXdatoY=p. PertantoE(X) =∫ RE (X|Y=p)f(p)dp= =∫ R( p+p2 +p3 )f(p)dp=∫ 1 0( x+x2 +x3 ) 6x(1−x)dx= 6∫ 1 0( x2 −x5 )dx= 1: 1 2. Le lunghezzeX; Ydei cateti di un triangolo rettangolo sono generate a caso, in modo tale che si tratti di variabili esponenziali indipendenti con lo stesso valore del parametro  >0. SiaAl'area del triangolo,Z=Y =Xil rapporto dei cateti el'angolo (misurato in radianti) opposto al catetoY. (a) Calcolare il valore atteso dell'areaA, in funzione di. (b) Calcolare la funzione di ripartizione diZ, notando che non dipende da, e disegnarne il gra co. (c) Determinare seZe assolutamente continua e in tal caso calcolarne la densita e dise- gnarne il gra co. (d) Calcolare la media diZ. (e) Calcolare la funzione di ripartizione di, notando che non dipende da. (f ) Determinare see assolutamente continua e in tal caso calcolarne la densita. Soluzione. (a) Per l'indipendenza,E(A) =E(X Y =2) =E(X)E(Y)=2 = 1=(22 ). (b) Tenendo conto del fatto cheXeYsono>0, si ricavaF Z( z) =P(Y =X≤z) = 0 per z≤0. Perz >0,F Z( z) =P(Y≤zX) si calcola con l'integrale della densita congiunta 2 e− x e− y sulla regione{(x; y) :y≤zx; x >0; y >0}: FZ( z) =∫ ∞ 0∫ zx 0 2 e− x e− y dy dx=∫ ∞ 0e − x (1−e− zx )dx=z 1 +z: (c) FZe continua su Red e di classeC1 a tratti. PercioZammette densitaf Z( z) = F′ Z( z) = (1 +z)− 2 1(0;∞)( z). (d) E(Z) =∫ ∞ 0z (1 +z)− 2 dz= +∞. (e) Risulta∈(0; =2), tan=Y =X=Z. Pertanto F( t) =P(≤t) =    0 ;set≤0; P(Z= tan≤tant) =F Z(tan t) =tan t 1 + tant; se 0< t < =2; 1;set≥=2: (f ) Fe continua su Red e di classeC1 a tratti. Percioammette densitaf ( t) =F′ ( t) = (1 + tan2 t)(1 + tant)− 2 1(0;=2)( t). 2 3. SianoX 1; X 2; : : : ; Y 1; Y 2; : : : variabili aleatorie reali indipendenti di varianza nita, X1; X 2; : : : i.i.d. di mediae varianza2 ; Y1; Y 2; : : : i.i.d. di mediae varianza2 : Inoltre, per ognin, siaZ n= X nY n. (a) Calcolare media e varianza diZ n. (b) Calcolare Cov(X k; Z n) per ogni k,n≥1. Siano Xn=1 nn ∑ k=1X k; Zn=1 nn ∑ k=1Z k: (c) Studiare il limite e l'asintotica normalita diZn. (d) Studiare il limiteZn−  Xn. (e) Studiare l'asintotica normalita diZn−  Xn. Soluzione. (a) Usando l'indipendenza,EZ n= E[X nY n] = ; VarZ n= Var( X nY n) = E[X2 nY2 n] −2 2 = (2 +2 )(2 +2 )−2 2 =2 2 +2 2 +2 2 : (b) Sek̸ =nallora Cov(X k; Z n) = E[X kZ n] −E[X k] E[Z n] = E[X kX nY n] −E[X k] E[X nY n] =E[X k] E[X n] E[Y n] −E[X k] E[X n] E[Y n] = 0 : Sek=nallora Cov(X k; Z k) = E[X kZ k] −E[X k] E[Z k] = E[X2 kY k] −E[X k] E[X kY k] = (2 +2 )−2 =2 : (c) Z1; Z 2; : : : successione di variabili i.i.d. eL2 per cui pern→ ∞ Zn→ q.c. e inL2 per la LGN Zn∼ AN( ; 2 2 +2 2 +2 2 n) per il TCL (d) Zn−  Xn→ 0 q.c. e inL2 . (e) Zn−  Xn=1 nn ∑ k=1X k( Y k− )∼AN( 0; 2 (2 +2 ) n) per il TCL applicato aW k= X k( Y k− ) i.i.d. di media 0 e Var(W k) = 2 (2 +2 ). 3