Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 16/9/2013. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Il tiro al bersaglio del circo itinerante di Samson ha quattro fucili, tre buoni e uno difettoso. Ben pero non sa riconoscere il fucile difettoso, quindi quando gioca sceglie a caso l'arma con cui sparare. Quando Ben spara con uno dei fucili buoni, colpisce il bersaglio 4 volte su 5, mentre quando spara con il fucile difettoso solo 1 volta su 3. (a) Con quale frequenza Ben colpisce il bersaglio? (b) Sapendo che Ben ha appena colpito il bersaglio, con quale probabilita sta usando uno dei fucili buoni? (c) Sapendo che Ben ha appena sparato 5 colpi (senza cambiare fucile) centrando il bersaglio 4 volte, con quale probabilita sta usando uno dei fucili buoni? (d) Sapendo che Ben ha appena sparato 5 colpi (senza cambiare fucile) centrando il bersaglio 4 volte, con quale probabilita ha mancato il secondo colpo? Soluzione.Introdotti gli eventi  B= Ben sceglie un fucile buono)P(B) = 3/4 = 0.75  D= Ben sceglie il fucile difettoso)P(D) = 1/4 = 0.25  C= Ben centra il bersaglio)P(CjB) = 4/5 = 0.8,P(CjD) = 1/3 = 0. 3 InoltreBeDsono una partizione dell'evento certo. (a) P(C) =P(CjB)P(B) +P(CjD)P(D) =4 53 4+ 1 31 4= 0 .6833 (b) P(BjC) =P (CjB)P(B) P(C)= 0 .8
0.75 0.6833= 0 .8780 Introdotta la variabile aleatoria X= numero di bersagli centrati da Ben su cinque colpi )XjBB(5,0.8), XjDB(5,0. 3) supponendo indipendenti i risultati dei diversi colpi.(c) P(BjX= 4) =P (X= 4jB)P(B) P(X= 4jB)P(B) +P(X= 4jD)P(D) =5
0.84
0.2
0.75 5
0.84
0.2
0.75 + 5
(1/3)4 (2/3)
0.25= 0 .9676 (d) Per simmetria, 1/5 = 0.2. 1 2. SiaXuna variabile aleatoria di Poisson con parametroλ >0. Calcolare: (a)la densita condizionata diXdato l'eventofX >0g, (b) la media condizionata diXdatofX >0g, (c) la varianza condizionata diXdatofX >0g, (d) la funzione caratteristica condizionata diXdatofX >0g. Soluzione. (a) P(X=kjX >0) =P (X=k) P(X >0)= e  λk k!(1e  )per ogni intero k1, (b) E[XjX >0] =1 ∑ k=1k e  λk k!(1e  )= λ 1e , (c) E[X2 jX >0] =1 ∑ k=1k 2 e  λk k!(1e  )= λ +λ2 1e , Var(XjX >0) =E[X2 jX >0]( E[XjX >0]) 2 =λ e  (λ+λ2 ) (1e  )2, (d) φXjX >0( u) =E[ei uX jX >0] =1 ∑ k=1e i uke  λk k!(1e  )= e  1e 1 ∑ k=1(e i u λ)k k!= e  (e ei u 1) 1e . 2 3. Si consideri la variabile aleatoria realeXavente funzione caratteristica ϕ(u) =eiu( 13 2j uj+1 2j uj3) 1[1;1]( u), u2R, doveµe un parametro reale. (a) La funzioneeiu( 13 2j uj+1 2j uj3) ,u2R, e anch'essa una funzione caratteristica? (b) Trovare il valore diµper cuiXeXhanno la stessa legge. (c) Stabilire seXha valore atteso nito. Si supponga ora che risultiµ= 0. SianoX 1, X 2, X 3, . . . variabili aleatorie indipendenti con la stessa legge diX. (d) Calcolare la funzione caratteristica diY n= n  (X 1+ . . .+X n) in funzione di ne del parametroα >0. (e) Studiare la convergenza in legge diY nper n! 1, al variare diα >0, trovandone gli eventuali limiti. (f ) Commentare la validita della legge dei grandi numeri per la successioneX n. Soluzione. (a) Non lo e perche non e limitata. (b) Xha funzione caratteristicaϕ(u), che coincide conϕ(u) solo perµ= 0. (c) Xnon ha valore atteso nito. In caso contrarioϕsarebbe derivabile con continuita mentre la derivata sinistra e destra inu= 0 valgono(3/2) +iµ. (d) Per l'indipendenza risultaϕYn( u) =E( eiun  (X 1+ :::+X n)) =ϕ(un  )n =( 13 2j uj n+1 2j uj3 n3 ) n 1[n ;n ]( u). (e) Poiche limn!11 [n ;n ]( u) = 1, risulta lim n!1ϕ Yn( u) = lim n!1exp[ n( 13 2j uj n+1 2j uj3 n3 )] =      1 f0g( u)per 0< α 1. Poiche 1f0g( u) e discontinua, non e funzione caratteristica e non c'e convergenza in legge per 0< α 1 si haY n! 0 in legge. (f ) I teoremi abituali non si possono applicare perche le variabiliX nnon hanno valore atteso nito. Perα= 1Y ncoincide con la media campionaria Xn. In base al risultato precedente si puo solo concludere che Xnconverge in legge, ma il limite Ynon e una costante, e in particolare non e pari alla media, che non e de nita. 3