Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 4/2/2014. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Nove persone salgono su un treno composto di tre vagoni e ognuna sceglie completa- mente a caso, e indipendentemente dagli altri, il vagone su cui viaggiare. Si considerino gli eventi: A= sul primo vagone salgono (esattamente) tre persone B= su ogni vagone salgono tre persone C= su un vagone salgono due persone, su un altro tre, sul rimanente quattro Si calcolino le seguenti probabilita:1.P(A),2.P(B),3.P(AjB),4.P(BjA),5.P(C). Soluzione.Si sceglie come spazio campionario l'insieme delle sequenze di lunghezza 9 contenenti i simboli 1,2,3: ad esempio il simbolo 2 al posto 5 indica che la quinta persona e salita sul vagone 2. La cardinalita di tale spazio e 39 . 1. Si scelgono tre posizioni su nove, indicanti le persone che salgono sul vagone 1, e cio si puo fare in( 9 3) modi possibili. Nelle sei posizioni restanti possono essere collocati i simboli 2 e 3 (26 modi possibili). Pertanto P(A) =( 9 3) 26 39= 0 .2731. 2. Si scelgono tre posizioni su nove, indicanti le persone che salgono sul vagone 1; poi si scelgono altre tre posizioni sulle sei restanti, indicanti le persone che salgono sul vagone 2. In de nitiva, P(B) =( 9 3) ( 6 3) 39= 0 .08535. 3. PoicheBAsi haP(AjB) =P (B) P(B)= 1. 4. PoicheBA,P(BjA) =P (B) P(A)=( 6 3) 26= 0 .3125. 5. Se i vagoni fossero ssati in un dato ordine la risposta, ragionando come nel punto 2, sarebbe( 9 2) ( 7 3) /39 . Tenendo conto dei 3! modi di scegliere l'ordine dei vagoni si conclude P(C) =3!( 9 2) ( 7 3) 39= 0 .3841. 1 2. Sia (X n) n≥1una successione di variabili aleatorie reali con legge P(X n= 0) = 1 1 n , P(X n= n) =1 n , doveβ0 e un parametro. (a) Calcolare la funzione di ripartizione diX ne disegnarne il gra co. (b) Calcolare la funzione caratteristica diX n. (c) Studiare la convergenza in legge di (X n) al variare del parametro β0. (d) Studiare la convergenza in probabilita di (X n) al variare del parametro β0. (e) Per ognip1, studiare la convergenza inLp di (X n) al variare del parametro β0. Da ora in poi si supponga cheβ= 1 e che per certi valorin2,m2 risulti C ov(X n, X m) = 1. (f ) CalcolareE(X nX m). (g) Dedurre dal punto precedente il valore diP(X n= n, X m= m). (h) Dedurre la legge congiunta diX n, X m. Soluzione. (a) FXn( x) = (1n− )1[0;n)( x) + 1 [n;∞)( x). (b) ϕXn( u) =P(X n= 0) + einu P(X n= n) = (1n− ) +n− einu . (c) Si trovaF Xn( x)!1 [0;∞)( x) seβ >0, da cuiX n! 0 in legge. Invece perβ= 0 si haX n= nquasi certamente eX n! 1 . Si potrebbe arrivare alle stesse conclusioni considerandoϕ Xn. (d) Perβ >0 il limite in legge e costante e pertantoX n! 0 anche in probabilita. (e) L'unico possibile limite e 0. Si trovaEjX njp =np n− !0 se e solo sep > β. (f ) E(X nX m) = C ov(X n, X m) + ( EX n)( EX m) = 1 + 1 = 2. (g) PoicheX nX mprende solo i valori 0 o nmsi haE(X nX m) = nmP(X n= n, X m= m), da cuiP(X n= n, X m= m) = 2/(nm). (h) La legge congiunta e descritta dalla tabellaXmn X n 0n 0ab1(1/m) m c2/(nm) 1/m 1(1/n) 1/n da cui si ricavab=m 2 nm, c =n 2 nm, a =( n1)(m1) + 1 nm. 2 3. Una variabile aleatoria realeTha funzione di ripartizione F(x) ={ 1exp( ∫ x 0λ (y)dy) , x0, 0,x