Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 2/9/2014. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.La misura di un'intensita luminosa e descritta come una variabile aleatoriaXcon legge esponenziale di media 10 (rispetto a un'opportuna unita di misura). A seconda del valore misurato, l'intensita viene classi cata in tre livelli descritti da una seconda variabile aleatoriaYde nita come segue: Y=  1 se X≤10 2 se 10< X≤20 3 seX >20 (a) Calcolare la legge diY. (b) Calcolare media e varianza diY. (c) Il vettore aleatorio (X, Y) e assolutamente continuo? E' discreto? (d) CalcolareP(X >5|Y= 1). (e) Calcolare la funzione di ripartizione diXdatoY= 2, cioe la funzioneP(X≤x|Y= 2). (f ) Calcolare la funzione di ripartizione congiuntaF(x, y) =P(X≤x, Y≤y). Soluzione. (a) Ye variabile aleatoria discreta con funzione di massa di probabilita P(Y= 1) =P(X≤10) = 1−e− 1 = 0.6321, P(Y= 2) =P(10< X≤20) =e− 1 −e− 2 = 0.2326, P(Y= 3) =P(X >20) =e− 2 = 0.1353. (b) E Y= 1−e− 1 + 2(e− 1 −e− 2 ) + 3e− 2 = 1.5032,V ar Y= 0.5206. (c) (X, Y) non e assolutamente continuo perche la sua componenteYe discreta e quindi non assolutamente continua. Non e discreto perche la sua componenteXnon e discreta. (d) P(X >5|Y= 1) =P (X >5, Y= 1) P(Y= 1)= P (5< X≤10) P(Y= 1)= e − 0:5 −e− 1 0.6321= 0 .3776. (e) Si trovaP(X≤x|Y= 2) = 0 perx≤10,P(X≤x|Y= 2) = 1 perx≥20. Invece per 10< x 0). (a) Calcolarep=p(µ), ovvero esprimerepin funzione diµmediante la funzione , e disegnarne un gra co qualitativo. Data una successioneX ndi variabili i.i.d. N(µ,1), si consideri la successione di variabilib p n, b p n= p( Xn) , Xn=1 nn ∑ k=1X k, n ∈N. (b) Studiare le proprieta di convergenza dib p nper n→ ∞. (c) Studiare la distribuzione asintotica dib p n. (d) Dedurre un intervallo di con denza di livello asintotico 0< γ= 1−α 0∀µ∈R. Grazie al metodo delta si deduce immediatamente cheb p n∼ AN( p(µ),e − 2 2π n) . (d) Per il punto precedente√ n(b p n− p(µ))/p′ (µ)→N(0,1) in legge, e per il teorema di Slutsky√ n(b p n− p(µ))/p′ ( Xn) →N(0,1), da cui si trova l'intervallo desiderato: b p n±p ′ ( Xn) √ nz 1 2= b p n±e − X2 n 2 √ 2π nz 1 2. 4 (e)b p n= p(X n) = (X n) e una variabile continua, dato cheX n∼ N( µ,1 n) e continua e p=p(µ) = (µ) e una funzioneC1 (R) con derivata sempre positiva. La sua densita e: fb p n( t) =f Xn(− 1 (t))1 ′ (− 1 (t))I (0;1)( t) =1 √ 2π/nexp{ −( z t− µ)2 2/n} 1 1 √ 2exp{ −z 2 t 2} I (0;1)( t) =√ nexp{ −n(z t− µ)2 +z2 t 2} I(0;1)( t), dovez t= − 1 (t) indica il quantile di ordinet∈(0,1) di una normale standard. 5