Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 4/5/2015. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Un'urna viene inizialmente riempita connpalline, di cuiXrosse enXbianche, con Xnumero casuale uniformemente distribuito fra 0 edn. A questo punto si aggiunge una pallina all'urna, sicuramente rossa, si mescola l'urna e, senza trucco e senza inganno, a caso se ne estrae una pallina. Determinare: (a) la probabilita che l'urna sia inizialmente composta daX=kpalline rosse; (b) la probabilita di estrarre una pallina rossa, sapendo cheX=k; (c) la probabilita di estrarre una pallina rossa; (d) la probabilita che l'urna sia inizialmente composta daX=kpalline rosse, sapendo che e stata estratta una pallina rossa. Soluzione.SiaRl'evento \estrazione di una pallina rossa". (a) P(X=k) =1 n+ 1per ogni k= 0; : : : ; n. (b) P(RjX=k) =k + 1 n+ 1. (c) P(R) =n ∑ k=0P (RjX=k)P(X=k) =n ∑ k=0k + 1 n+ 11 n+ 1= n + 2 2(n+ 1). (d) P(X=kjR) =P (RjX=k)P(X=k) P(R)= 2( k+ 1) (n+ 1)(n+ 2)per ogni k= 0; : : : ; n. 1 2. Decidete di giocare alla roulette (37 caselle, numerate da 0 a 36) con puntate semplici, sempre sul 15, no a quando nalmente uscira. SiaXil numero di giocate che vi aspettano. (a) Qual e la legge diX? Quale il suo valore atteso? In caso di vincita il banco paga 35 volte la posta giocata: se avete puntato 1 soldo sul 15 ed esce il 15, ricevete indietro 1 + 35 = 36 soldi. Immaginando di avere a disposizione un capitale in nito, decidete di puntare ogni volta 1 soldo (sempre sul 15, no a quando nalmente uscira). SiaYil vostro guadagno nale. (b) ScrivereYin funzione diX. (c) Qual e la legge diY? Quale il suo valore atteso? In realta il vostro capitale iniziale non e in nito, ma ammonta a 35 soldi. Pertanto giocherete no all'uscita del primo 15 o no alla perdita di tutto il capitale. (d) Con quale probabilita non perderete tutto il capitale? Siano alloraNil numero di giocate che vi aspettano eGil vostro guadagno nale. (e) Qual e la legge diN? (f ) Qual e la legge diG? Soluzione. (a) XG(1=37) conE[X] = 37. (b) Spesa =X, Ricavo = 1 + 35 = 36, per cui Guadagno =Y= 36X. (c) Per ognik35, intero relativo,f Y( k) =P(Y=k) =P(X= 36k) =1 37( 36 37) 35−k . E[Y] = 36E[X] =1. (d) P(X35) =F X(35) = 1 ( 36 37) 35 = 0:6167. (e) fN( k) =P(N=k) ={ P(X=k) =1 37( 36 37) k−1 ;perk34; P(X35) =( 36 37) 34 ;perk= 35: (f ) fG( k) =P(G=k) ={ P(X= 36k) =1 37( 36 37) 35−k ;per 1k35; P(X36) =( 36 37) 35 ;perk=35: 2 3. SiaXuna variabile aleatoria reale con legge esponenziale di parametro >0 noto, e sia Yla variabile aleatoria de nita dalla formula Y=X2 2X: 1. Calcolare il valore attesoE(Y). 2. Calcolare la varianza diY. [Suggerimento: si tenga presente cheE(X3 ) = 6=3 , E(X4 ) = 24=4 .] 3. Calcolare la funzione di ripartizione diY. Se ne disegni anche un gra co qualitativo. [Suggerimento: studiare il gra co della funzioneh(x) =x2 2x.] 4. Determinare seYe assolutamente continua e in tal caso calcolarne la densita continua. Soluzione.1. E(Y) =E(X2 )2E(X) =V ar(X) + (E(X))2 2E(X) =1 2 +1 2 2 = 21 − 2 : 2. E(Y2 ) =E(X4 ) + 4E(X2 )4E(X3 ) =24 4 +8 2 24 3 da cui V ar(Y) =E(Y2 )(E(Y))2 =20 4 +4 2 16 3 . 3. Si osservi che il gra co della funzioneh(x) =x2 2xe una parabola convessa avente minimo pari a1 nel puntox= 1; pery >1 l'equazionex2 2x=yammette due radici realix 1< x 2(di cui una sola e positiva per y >0, entrambe positive per 1< y