Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 17/7/2015. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.DateT 1e T 2indipendenti ed esponenziali di parametro λ, si consideri la trasformazione: S1= T 1, S 2= T 1+ T 2. (a) Si mostri che (S 1, S 2) e un vettore aleatorio continuo, se ne calcoli la densita f (S 1;S 2)e, in particolare, se ne disegni il supportoR. (b) Si calcoli la funzione caratteristicaφ (S 1;S 2). (c) Le variabiliS 1ed S 2sono indipendenti? Perche? (d) Si calcoli e si riconosca la distribuzione diS 1condizionata da S 2= x, dovex >0. (e) Si trovino l'attesa condizionataE[S 1| S 2] e la varianza condizionata Var( S 1| S 2). Soluzione. (a) (S1 S2) =( 1 0 1 1) ( T1 T2) e un vettore aleatorio continuo percheA=( 1 0 1 1) e invertibile e (T 1, T 2) e un vettore aleatorio continuo (essendo leT kvariabili continue indipendenti). Poiche detA= 1 eA 1 =( 1 0 −1 1) , abbiamo f(S 1;S 2)( y 1, y 2) = f (T 1;T 2)( y 1, y 2− y 1) = λ2 e  y 2 IR( y 1, y 2) doveR={ (y 1, y 2) : 0 < y 1< y 2} . (b) φ(S 1;S 2)( u 1, u 2) = φ (T 1;T 2)( AT u) =λ λ−i(u 1+ u 2)λ λ−iu 2 =λ 2 λ2 −2iλu 2− iλu 1− u 2( u 1+ u 2). (c) Le variabiliS 1ed S 2non sono indipendenti: non si fattorizzano f (S 1;S 2), R,φ (S 1;S 2). 1 (d)S 1| S 2= xha distribuzione continua di densita fS1j S 2( s|x) =λ 2 e x IR( s, x) λ2 e x x= 1 xI (0;x)( s), per cuiS 1| S 2= x∼U((0, x)). (e) PoicheE[S 1| S 2= x] =x 2, Var(S 1| S 2= x) =x 2 12, abbiamoE[S 1| S 2] =S 2 2, Var(S 1| S 2) =S 2 2 12. 2 2. Si consideri una variabile aleatoria realeX , dipendente da un parametro λ >0, avente densita continuaf(x) =c x1 [0;]( x). (a) Si trovi il valore della costantecin funzione diλ. (b) Si calcoli la funzione caratteristica diX2 . (c) Si studi il limite in legge diX2 quando λ→0 e quandoλ→+∞. (d) Si studi il limite in legge diX quando λ→0 e quandoλ→+∞. Si supponga ora cheX 1, X 2, X 3. . . sia una successione di variabili indipendenti, aventi tutti la stessa legge diX . (e) Si calcolino i limiti delle successioni1 nn ∑ i=1X 2 i,1 nn ∑ i=1X 4 i, speci cando in che senso ha luogo la convergenza. (f ) Si calcoli il limite quasi certo della successioneX2 1+ X2 2+ . . .+X2 n X4 1+ X4 2+ . . .+X4 n. Soluzione. (a) Imponendo∫ Rf (x)dx= 1 si trovac= 2λ 2 , da cuif(x) = 2λ 2 x1 [0;]( x). (b) Si trovaϕ X2 ( u) = 1 peru= 0 e peru̸ = 0 ϕX2 ( u) =E[ eiuX 2 ] =∫  02 λ 2 x eiux 2 dx=1 iuλ2( eiu 2 −1) . (c) Perλ→0 si haϕ X2 ( u)→1 che e la funzione caratteristica diδ 0: per il teorema di Levy,X2 → 0 in legge. Perλ→+∞si haϕ X2 ( u)→0 peru̸ = 0 maϕ X2 (0) = 1: la funzione limite e discontinua, non e funzione caratteristica eX2 non converge in legge. (d) Le funzionih(x) =√ x,k(x) =x2 sono continue perx≥0. Perλ→0 si haX2 → 0 in legge e pertantoX = h(X2 ) →0 in legge. InveceX non converge in legge per λ→+∞, altrimenti avremmoX2 = k(X ) anch'esso convergente in legge. (e) Le successioniX2 ie X4 isono iid e in L2 (percheX ∈ L8 , anzi in ogniLp dal momento che e limitata q.c.). Per la legge dei grandi numeri, quasi certamente e inL2 , 1 nn ∑ i=1X 2 i→ E[X2 ] =∫  02 λ 2 x3 dx=λ 2 2, 1 nn ∑ i=1X 4 i→ E[X4 ] =∫  02 λ 2 x5 dx=λ 4 3. (f ) Si ottiene dal punto precedente che, quasi certamente,X2 1+ X2 2+ . . .+X2 n X4 1+ X4 2+ . . .+X4 n=1 n∑ n i=1X2 i 1 n∑ n i=1X4 i→ λ 2 /2 λ4 /3= 3 2λ2. 3 3. Alice, Bruno e Carlo giocano con un dado non truccato: se viene 1 o 2 allora Alice fa un punto, se viene 3 o 4 allora Bruno fa un punto, se viene 5 o 6 allora Carlo fa un punto. Vince il primo giocatore che raggiunge 3 punti. Dario raggiunge Alice, Bruno e Carlo trovandoli rispettivamente con 2, 2, 0 punti. Valutate per Dario: (a) le possibili evoluzioni del gioco rappresentandole con un diagramma ad albero, (b) le probabilita di vittoria di Alice, Bruno e Carlo, (c) la distribuzione del numero di lanci mancanti alla ne del gioco, (d) il numero atteso di lanci mancanti alla ne del gioco, (e) le probabilita di vittoria di Alice, Bruno e Carlo, se il gioco e terminato con 2 lanci dopo l'arrivo di Dario. Soluzione.Si considerino gli eventi A= vince Alice, B= vince Bruno, C= vince Carlo, e le variabili aleatorieXn=    a, se al lancionAlice fa un punto, b,se al lancionBruno fa un punto, c,se al lancionCarlo fa un punto, N= numero di lanci mancanti alla ne del gioco. (b) P(A) =P(B) =P(X 1= a) +P(X 1= c, X 2= a) +P(X 1= c, X 2= c, X 3= a) =1 3+ 1 9+ 1 27= 13 27= 0 .4815 P(C) =P(X 1= c, X 2= c, X 3= c) =1 27= 0 .0370 (c) P(N= 1) =P(X 1= a) +P(X 1= b) =2 3= 0 .6667 P(N= 2) =P(X 1= c, X 2= a) +P(X 1= c, X 2= b) =2 9= 0 .2222 P(N= 3) =P(X 1= c, X 2= c) =1 9= 0 .1111 (d) E[N] = 12 3+ 2 2 9+ 3 1 9= 13 9= 1 .44 (e) P(A|N= 2) =P(B|N= 2) = 0.5,P(C|N= 2) = 0. 4