Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 4/2/2016. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Il numeroNdi viaggiatori che ogni giorno viaggiano fra Nuova Tokyo e la base lunare Alpha ha una distribuzione di Poisson di media. La frazione di viaggiatori sprovvisti di regolari documenti di viaggio `e pari ap. Ogni viaggiatore `e provvisto o meno dei documenti indipendentemente dagli altri e daN. SiaXil numero giornaliero di viaggiatori sprovvisti di regolari documenti di viaggio. In queste circostanze `e noto che la distribuzione diX condizionata daN=n`e binomialeB(n; p), e che la distribuzione diX`e di Poisson con mediap. (a) CalcolareE(XjN), il valore atteso diXcondizionato aN; calcolareV ar(XjN), la varianza diXcondizionata aN. (b) Calcolare la probabilit`a diN= 2 sapendo cheX2. (c) Calcolare i limiti diP(N= 2jX2) perp!0 e perp!1. (d) CalcolareP(X=N) e i suoi limiti perp!0 e perp!1. (e) Commentare i limiti calcolati. Soluzione. (a) E(XjN) =N p,V ar(XjN) =N p(1p). (b) P(N= 2jX2) =P (X2jN= 2)P(N= 2) P(X2)= e − (1−p)2 =2 1 +p+p2 2 =2. (c) P(N= 2jX2)!e− 2 2per p!0, P(N= 2jX2)! 2 =2 1 ++2 =2per p!1. (d) P(X=N) =∞ ∑ n=0P (X=NjN=n)P(N=n) =∞ ∑ n=0p n e− n n!= e − (1−p) , P(X=N)!e−  perp!0, P(X=N)!1 perp!1. (e) Nel limitep!0 nessun viaggiatore `e sprovvisto di regolari documenti di viaggio, per cuiP(X=N)!P(N= 0). Allo stesso tempo l’evento (X2) diventa certo, il suo verificarsi non d`a pi`u informazioni, e come ci si potrebbe aspettare si ha proprio P(N= 2jX2)!P(N= 2). Nel limitep!1 tutti i viaggiatori sono sprovvisti di regolari documenti di viaggio, per cuiP(X=N)!1, cos`ıXedNdanno le stesse informazioni, e come ci si potrebbe aspettare si ha proprioP(N= 2jX2)!P(N= 2jN2). 1 2. Per; 2R, sia f(x) = e− (x−) I[ ;+∞)( x): (a) Trovare per quali; 2Rla funzionef`e una densit`a continua di probabilit`a suR. Per i valori trovati, si tracci un grafico qualitativo della densit`af. (b) Data una variabile aleatoriaXcon densit`af, calcolare la distribuzione diX. (c) DatenvariabiliX 1; : : : ; X ni.i.d. con distribuzione f, calcolare le distribuzioni (marginali) delle tre variabiliX(1); X (1) ; n( X(1) ) ; doveX (1):= min( X 1; : : : ; X n). (d) Calcolare media e varianza diX (1). (e) Mostrare che, pern! 1, il minimoX (1)converge in probabilit`a ad una costante e determinarla assieme alla velocit`a di convergenza. Soluzione. (a) 2R, =. (b) X E(1). (c) FX (1)( t) =( 1e− n(t−)) I[;+∞)( t), X(1)  E(n), n( X(1) )  E(1). (d) E[X (1)] = +1 n; Var(X (1)) =1 n2. (e) Pern! 1,F X (1)( t)!I (;+∞)( t), e pertantoX (1)converge in legge verso . Poich´e il limite `e costante, la convergenza ha luogo anche in probabilit`a. Inoltren( X(1) )  E(1)! E(1); per cui la velocit`a di convergenza `e pari an. Si pu`o anche osservare cheE[X (1)] = +1 n! ;Var(X (1)) =1 n2! 0; per cui il minimoX (1)! anche inL2 . Infine, poich´e si tratta di una successione monotona, il limite esiste anche in senso quasi certo. 2 3. Si supponga che la durataTdi una chiamata telefonica (misurata insecondi) si possa ra- gionevolmente modellizzare come una variabile aleatoria di legge esponenziale con parametro  >0. Una compagnia telefonica addebita un costoc= 20 centesimi alminuto. La durata in minuti di ogni chiamata `e per`o arrotondata all’intero successivo: ad esempio 53:4 secondi valgono un minuto, 2 minuti e 10:3 secondi valgono 3 minuti eccetera. Indichiamo conN la durata arrotondata in minuti e conCil costo di una chiamata. (a) Trovare la distribuzione diN. (b) EsprimereCin funzione diNe trovare il valore atteso e la varianza diC. Supponiamo ora che la compagnia telefonica cambi modalit`a di tariffazione e faccia pagare c′ = 20=60 centesimi alsecondo, ma che la durata in secondi della chiamata venga arro- tondata all’intero successivo: ad esempio 53:4 secondi valgono 54, 2 minuti e 10:3 secondi valgono 131 secondi eccetera. Indichiamo conC′ il costo di una chiamata con la nuova tariffazione. (c) Trovare il valore atteso diC′ . (d) Nel caso che la durata media di una chiamata sia 250 secondi, confrontare i valori attesi diCe diC′ e dire quale dei due piani tariffari `e pi`u conveniente all’utente. Soluzione. (a) Si haN= [T =60] + 1.Npu`o prendere ogni valore interon1 con probabilit`a P(N=n) =P( n1