Mathematical Engineering - Probabilità

Full exam

Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 2/5/2016. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Il fatturatoXdi un’azienda, espresso in un’opportuna unit`a di misura, `e una variabile aleatoria reale continua con densit`a f(x) =1 8x 1 (0;a)( x); dovea >0 `e un parametro. Il fatturato viene classificato in tre livelli (alto, medio, basso) a seconda che risultiX >3, 2< X≤3,X≤2, rispettivamente. (a) Trovare il valore diain modo chefsia effettivamente una densit`a di probabilit`a. (b) Trovare le probabilit`a che il fatturato sia classificato alto, medio, basso. La direzione dell’impresa potrebbe decidere di attivare unauditamministrativo. La proba- bilit`a che l’auditvenga attivato `e pari a 1=2, 1=3, 1=6 nei tre casi (fatturato alto, medio, basso). (c) Calcolare la probabilit`a che l’auditvenga attivato. (d) I dati contabili di un certo anno sono andati perduti. Sapendo che in quell’anno l’audit NON `e stato attivato, si calcoli la probabilit`a che il livello di fatturato sia stato quello medio. Soluzione.Definiamo gli eventiL 1; L 2; L 3= “livello basso, medio, alto” rispettivamente; A= “audit attivato”. (a) 1 =1 8∫ a 0x dx =⇒a= 4. (b) P(L 1) = P(X≤2) =1 8∫ 2 0x dx =1 4, P(L 2) = P(2< X≤3) =1 8∫ 3 2x dx =5 16, P(L 3) = P(X >3) =1 8∫ 4 3x dx =7 16. (c) Poich´eP(A|L i) = 1 =6;1=3;1=2, peri= 1;2;3, si trova P(A) =∑ 3 i=1P (A|L i) P(L i) = 35 =96≃0:3646. (d) P(L 2| Ac ) =P (Ac |L 2) P(L 2) P(Ac )= (1 −P(A|L 2)) P(L 2) 1−P(A)= 20 61≃ 0:3279. 1 2. Un’urna contienerpalline rosse ebpalline bianche (r≥1; b≥1). Una pallina `e estratta a caso dall’urna. Dopodich´e, si lancia una moneta in modo indipendente: se esce testa, la pallina viene rimessa nell’urna; se esce croce, la pallina non viene rimessa nell’urna. Quindi una seconda pallina `e estratta ancora a caso dall’urna in modo indipendente. Determinare: (a) la probabilit`a che la prima pallina estratta sia rossa e il lancio della moneta abbia dato croce; (b) la probabilit`a che la seconda pallina estratta sia bianca, sapendo che la prima pallina estratta `e stata rossa e il lancio della moneta ha dato testa; (c) la probabilit`a che la seconda pallina estratta sia bianca, sapendo che la prima pallina estratta `e stata rossa e il lancio della moneta ha dato croce; (d) la probabilit`a che la prima pallina estratta sia rossa, il lancio della moneta abbia dato croce e la seconda pallina estratta sia bianca; (e) la probabilit`a che la seconda pallina sia bianca. Si calcoli poi il valore di tale probabilit`a nel casor= 4,b= 6. (f ) Ancora nel casor= 4,b= 6, determinare la probabilit`a che esca testa, sapendo che la seconda pallina estratta `e bianca. (g) Sempre nel casor= 4,b= 6, gli eventi “esce testa” e “la seconda pallina estratta `e bianca” sono indipendenti? Soluzione.Definiamo gli eventi:i= 1;2, Ri= “viene estratta una pallina rossa alla i-esima estrazione”; Bi= “viene estratta una pallina bianca alla i-esima estrazione” =Rc i; T= “esce testa”; C= “esce croce” =Tc : (a) Per l’indipendenza,P(R 1∩ C) =P(C)P(R 1) =1 2r r+b. (b) P(B 2| R 1∩ T) =b r+b. (c) P(B 2| R 1∩ C) =b r+b−1. (d) P(R 1∩ C∩B 2) = P(B 2| R 1∩ C)P(R 1∩ C) =1 2rb (r+b)(r+b−1): (e) Condizionando agli eventiR 1∩ T ; R 1∩ C; B 1∩ T ; B 1∩ C, che formano una partizione, P(B 2) = P(B 2| R 1∩ T)P(T)P(R 1) + P(B 2| R 1∩ C)P(C)P(R 1) +P(B 2| B 1∩ T)P(T)P(B 1) + P(B 2| B 1∩ C)P(C)P(B 1) =1 2r r+bb r+b+ 1 2r r+bb r+b−1+ 1 2b r+bb r+b+ 1 2b r+bb −1 r+b−1= b r+b: Nel casor= 4,b= 6 risultaP(B 2) = 0 :6. 2 (f ) P(T|B 2) =P (B 2∩ T) P(B 2)= P (B 2∩ T∩R 1) + P(B 2∩ T∩B 1) P(B 2) =P (B 2| T∩R 1) P(T)P(R 1) + P(B 2| T∩B 1) P(T)P(B 1) P(B 2)=1 2rb (r+b)2 +1 2b 2 (r+b)2 b r+b= 1 2; per qualunque valore dir; b. (g) Poich`eP(T|B 2) = P(T), gli eventiTeB 2sono indipendenti. 3 3. Il fatturato annuo di un agente di vendita di una certa ditta (misurato in migliaia di euro, quindi in “keuro”) `e rappresentato da una variabile aleatoria realeXcon legge esponenziale di parametro >0 noto. Il guadagnoYriconosciuto all’agente `e pari al 10% del fatturato, a cui si aggiunge un premio di produzione pari a 1keuro se il fatturato supera il livello di 5keuro. 1. EsprimereYin funzione diX, cio`e trovare una funzioneh:R→Rtale cheY=h(X). Disegnare poi un grafico dih. 2. Calcolare il valore attesoE(Y). 3. Calcolare la funzione di ripartizione diY. Se ne disegni anche un grafico qualitativo. 4. Determinare seY`e assolutamente continua e in tal caso calcolarne la densit`a continua. Soluzione.1. h(x) =x 10+ 1 {x>5}. 2. E(Y) =E (X) 10+ P(X >5) =1 10+ e− 5 . 3. FY( y) =P(Y≤y) =      0 ;sey≤0; P(X=10≤y) = 1−e− 10y ;se 0< y≤1=2; P(X≤5) = 1−e− 5 ;se 1=2< y≤3=2; P((X=10) + 1≤y) = 1−e− 10(y−1) ;sey >3=2: 4. Si nota cheF`e continua suRed `eC1 a tratti. La densit`a continuafsi ottiene derivando: f(y) =F′ Y( y) =      0 ;sey