Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 21/7/2016. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Sia (X, Y) un vettore aleatorio con densita continua: f(X;Y)( x, y) =  1 2p 3x e 1 2x( 1+1 3y 2) , x >0, y∈R, 0,altrove. (a)XedYsono indipendenti? (b)Calcolare la densita continua diX. (c)Determinare la densita continua condizionata diYdatoX=x, per ognix >0, e riconoscerla. (d)Quanto valgonoE[Y|X] e Var(Y|X)? (e)Calcolare la densita continua diY. (f )Determinare la densita continua del vettore aleatorio (Z, Y), doveZ=X( 1 +1 3Y2) . Le variabili aleatorieZedYsono indipendenti? Soluzione. (a)No, infattif (X;Y)non e fattorizzabile. (b)fX( x) =1 p 2√ xe 1 2x I(0;+1)( x). Si puo notare cheX∼( 3 2,1 2) . (c)Per ognix >0,f YjX( y|x) =f (X;Y)( x;y) fX( x)=1 √ 23 xe 1 2y 2 3 x, per ogniy∈R. QuindiY|X=x∼ N( 0,3 x) . (d)Per il punto (c),E[Y|X=x] = 0 e Var(Y|X=x) =3 x. Quindi E[Y|X] = 0 e Var(Y|X) =3 X. (e)fY( y) =2 p 31 (1+y 2 3) 2, per ogni y∈R. Si puo notare cheY∼t(3). (f ) f(Z;Y)( z, y) =f (X;Y)( z 1 +1 3y 2, y) 1 1 +1 3y 2=  1 2p 3z e 1 2z 1 (1+1 3y 2) 2, z > 0, y∈R, 0,altrove. Poichef (Z;Y)e fattorizzabile, segue che ZedYsono indipendenti. 1 2. Per ognin≥2, si consideri la variabile aleatoria discretaX ntale che P( Xn=k n) =1 2k, per ognik= 1, . . . , n−1 eP(X n= 1) =1 2n 1. (a)Determinare la funzione caratteristica diX n. (b)Stabilire se la successione (X n) n2converge in legge e, nel caso, determinarne il limite. Si consideri ora, per ognin≥2, la variabile aleatoriaY n= nX n. (c)Qual e la densita discreta diY n? (d)Determinare la funzione caratteristica diY n. (e)Stabilire se la successione (Y n) n2converge in legge e, nel caso, determinarne il limite. [Suggerimento. Si ricordi la somma parziale della serie geometrica: perq̸ = 1, n1 ∑ k=1q k =q −qn 1−q. ] Soluzione. (a)φXn( u) =1 2ei u n−1 2n ei u 1−1 2ei u n+ e i u1 2n 1, per ogni u∈R. (b)Poiche limn!1φ Xn( u) = 1, per ogniu∈R, dal Teorema di continuita di Levy si deduce cheX nL −→0. (c)pYn( k) =1 2k , per ogni k= 1, . . . , n−1, ep Yn( n) =1 2n 1. (d)φYn( u) =φ Xn( nu) =1 2ei u −1 2n ei nu 1−1 2e i u+ e i nu1 2n 1, per ogni u∈R. (e)Poiche limn!1φ Yn( u) =1 2ei u 1−1 2e i u, per ogni u∈R, dal Teorema di continuita di Levy si deduce che la successione (Y n) n0converge in legge ad una variabile aleatoria Z∼G( 1 2) . Alla stessa conclusione si arriva osservando che, per ognik≥1, lim n!1P (Y n= k) =1 2k= P(Z=k). 2 3. SiaXuna variabile aleatoria con legge esponenziale di parametroλ >0. Per ogni intero n≥0 si pongaY n= max( X, n). 1.Calcolare la funzione di ripartizione diY n. 2.Calcolare il valore atteso diY n. Sia oraNuna variabile aleatoria, indipendente daX, avente legge geometrica di parametro p∈(0,1), e precisamenteP(N=n) = (1−p)pn pern≥0. Sia in neY= max(X, N). 3.Determinare la legge congiunta diYeNcalcolandoP(Y≤y, N=n). 4.Calcolare il valore atteso condizionatoE[Y|N]. Soluzione. 1. P(Y n≤ y) ={ 0sey < n, P(X≤y) = 1−e y sey≥n, cioeF Yn( y) =P(Y n≤ y) = (1−e y )I [n;+1)( y). 2.E[Y n] =∫ +1 1max( x, n)f X( x)dx=∫ +1 0max( x, n)λe x dxda cui E[Y n] =∫ n 0n λe x dx+∫ +1 nx λe x dx=n+e n λ. 3.Pery >0 e ogni interon≥0, P(Y≤y, N=n) =P(max(X, N)≤y, N=n) =P(max(X, n)≤y, N=n) =P(Y n≤ y)P(N=n) = (1−e y )I [n;+1)( y) (1−p)pn . 4.RisultaE[Y|N=n] =E[max(X, n)|N=n] =E[Y n] = n+e n per il punto 2. Percio E[Y|N] =N+e N . 3