Mathematical Engineering - Probabilità

Full exam

Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 5/9/2016. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.SianoX, Ydue variabili aleatorie indipendenti.Xha distribuzione geometrica, e pre- cisamenteP(X=m) =pm (1−p) per ogni interom≥0 e per un parametro notop∈(0,1). Yprende i valori{0,1, . . . , N}con uguale probabilita (N≥1 e un parametro intero, noto). Sia in neZ= min(X, Y). (a)CalcolareP(X≤4.3). Piu in generale calcolareP(X≤k+ 0.3) per ogni interok≥0. (b)CalcolareP(Z= 0). (c)XeZsono indipendenti? (d)CalcolareP(X≥Y). (e)Calcolare la legge diZ. Soluzione. (a)P(X≤4.3) =P(X≤4) = 1−P(X≥5) = 1−∑ ∞ m=5pm (1−p) = 1−p5 (1−p)∑ ∞ m=0pm = 1−p5 . AnalogamenteP(X≤k+ 0.3) = 1−P(X≥k+ 1)] = 1−pk +1 . (b)P(Z= 0) = 1−P(Z >0) = 1−P(X >0, Y >0) = 1−P(X >0)P(Y >0). Poiche P(X >0) = 1−P(X= 0) =peP(Y >0) = 1−P(Y= 0) = 1−1 N+1si ha P(Z= 0) = 1−pN N+1. (c)No, ad esempio percheP(Z= 0, X= 0) =P(X= 0) = 1−p̸ =P(Z= 0)P(X= 0) = [1−pN N+1] [1 −p]. (d)P(X≥Y) =∑ N k=0P (X≥Y , Y=k) e poiche P(X≥Y , Y=k) =P(X≥k, Y=k) =P(X≥k)P(Y=k) =pk 1 N+ 1 si haP(X≥Y) =N ∑ k=0p k 1 N+ 1= 1 −pN +1 (N+ 1)(1−p). (e)Zprende i valorik= 0, . . . , Ncon probabilita P(Z=k) =P(Z=k, Y≤X) +P(Z=k, Y > X) =P(Y=k, Y≤X) +P(X=k, Y > X) =P(Y=k, k≤X) +P(X=k, Y > k) =P(Y=k)P(k≤X) +P(X=k)P(Y > k) =1 N+ 1p k +pk (1−p)N −k N+ 1= p k N+ 1[1 + (1 −p)(N−k)]. 1 2. Si consideri la seguente funzione, dipendente da un parametroλ >0: f( x) =2 λ( 1−x λ) 1(0;)( x), x∈R. (a)Si disegni il gra co dif e si mostri che e una densita di probabilita. SianoX varabili aleatorie con densita f (de nite su uno stesso spazio di probabilita). (b)Calcolare la funzione di ripartizione diX . (c)Calcolare i momenti, anche frazionari, diX , cioe i numeri E(Xp ) per ogni numero realep >0. (d)Calcolare la funzione di ripartizione delle variabiliY = λ−X ; determinare se ammet- tono densita e in tal caso calcolarla. (e)Pern→ ∞, studiare la convergenza in legge delle successioniX ne X 1=n(cioe le variabili Xcorrispondenti ai casi λ=neλ= 1/n). (f )Stabilire se tali successioni convergono anche inLp , per qualche valore dip≥1. Soluzione. (a)fe positiva, Boreliana e∫ Rf ( x)dx= 1, come si deduce subito osservando il suo gra co di forma triangolare. (b)F( x) =P(X ≤ x) = 0 perx≤0,F ( x) = 1 perx≥λ, e per 0< x < λsi ha F( x) =∫ x 02 λ( 1−y λ) dy=2 x λ− x 2 λ2. (c)E(Xp ) =∫  0y p 2 λ( 1−y λ) dy=2 λp (p+ 1)(p+ 2). (d)Poiche 0< X < λ q.c. si ha anche 0< Y < λ q.c. e pertantoF Y( y) =P(Y ≤ y) = 0 pery≤0,F Y( y) = 1 pery≥λ. Per 0< y < λsi ha invece FY( y) =P(X ≥ λ−y) = 1−F ( λ−y) = 1−2( λ−y) λ+ ( λ−y)2 λ2=y 2 λ2. EssendoF Ycontinua, e di classe C1 a tratti, la densitaf Yesiste e si ottiene derivando: fY= (2 y/λ2 )1(0;)( y). (e)Poiche limn→∞F n( x) = 0, non c'e convergenza in legge. Poiche lim n→∞F 1=n( x) = 1 (0;∞)( x), risultaX 1=n→ 0 in legge. (f )PoicheX nnon converge in legge non puo convergere in Lp per nessun valore dip. Dal punto (c) risulta poi lim n→∞E (Xp 1=n) =2(1 /n)p (p+ 1)(p+ 2)= 0 , da cui segue cheX 1=n→ 0 inLp per ogni valore dip≥1. 2 3. SiaXuna variabile aleatoria reale discreta e avente legge descritta dalle formule P(X= 0) =2 λ, P (X=λ2 ) = 1−2 λ, doveλe un parametro reale. (a)Trovare i valori ammissibili diλ. (b)Calcolare media e varianza diX. Supponiamo ora che sia dato un campione statistico avente la stessa legge diX, e sia  Xnla media campionaria. Come stimatore di λsi propone ^ λn= 1 +√ 1 + Xn. (c)Studiare la convergenza quasi certa di^ λne commentare la scelta di tale stimatore. (d)Studiare la distribuzione asintotica di Xn. (e)Studiare la distribuzione asintotica di^ λn. Soluzione. (a)λ≥2. (b)µ=λ(λ−2),σ2 = 2λ2 (λ−2). (c)Per la legge dei grandi numeri si ha, quasi certamente, Xn→ µda cui ^ λn→ 1 +√ 1 +µ= 1 +|λ−1|=λ, dato cheλ≥2.^ λne pertanto uno stimatore fortemente consistente del parametro λ. (d)Per il teorema limite centrale√ n( Xn− µ)→Z∼N(0, σ2 ) in legge, o equivalentemente  Xn∼ AN( λ(λ−2),2 λ2 (λ−2) n) . (e)Postoϕ(x) = 1 +√ 1 +xin modo che^ λn= ϕ( Xn), λ=ϕ(µ),ϕ′ (x) = (2√ 1 +x)− 1 , per il metodo delta risulta √ n(ϕ( Xn) −ϕ(µ)) =√ n(^ λn− λ)→ϕ′ (µ)Z∼N(0, ϕ′ (µ)2 σ2 ) =N( 0,σ 2 4(1 +µ)) =N( 0,λ 2 (λ−2) 2(λ−1)2) in legge, o equivalentemente^ λn∼ AN( λ,λ 2 (λ−2) 2(λ−1)2 n) . 3