Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione II Prova in Itinere di Probabilità per Ingegneria Matematica6 luglio 2017 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Problema 1.DataX n, n2N, successione di variabili aleatorie i.i.d. bernoullianeB(p)con probabilità di successo0< p > > > > > > > < > > > > > > > > > > > :12( ba)Z b jtj1s d s;seb < t > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > :log blogjtj2( ba); seb < t 0, per cui fXn( s) =2 se s I(0;+1)( s);E[X n] =2 ; Var(X n) =2 2: Si consideri quindi la successione di variabili aleatorie Yn= n X k=1X k! 22 n2; n 2N: 1.Mostrare cheY nconverge quasi certamente a una costante e trovare tale limite. 2.Mostrare cheY nè asintoticamente normale, trovandone media asintotica e varianza asintotica. 3.Determinare la velocità di convergenza diY n. 4.Determinare il limite in legge della successione di variabili aleatoriepn Yn2 2
Y n: 5 Risultati. 1.Y n=(X n)22 ! 2 2q.c. perchéX n!2 q.c. per la LGN e perché h(x) =x2 =2è continua. 2.Y n AN 2 2;8n  4 perchéX n AN 2 ; 2n  2 per il TCL e perchéh(x) =x2 =2è continua e dierenziabile con derivatah0 (x) =xnon nulla inx= 2=(metodo delta 1). Quindi media asintotica=2 2 , varianza asintotica =8n  4 . 3.Velocità di convergenza diY n=pn . 4.pn Yn2 2
Y n= 1Y n
pn  Yn2 2 ! 22
N 0;8 4 =N(0;2)in legge per Slutsky. 6