Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione III Appello di Probabilità per Ingegneria Matematica31 gennaio 2018 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Esercizio 1.Al gioco dei craps si considera la somma di due dadi. Al primo lancio il giocatore vince con 7 o 11, perde con 2, 3 o 12, deve ritirare negli altri casi. Quando si verica questo terzo caso, il risultato ottenuto al primo lancio diventa il punteggio di riferimento, valido dal secondo lancio no alla ne del gioco. Dal secondo lancio in poi il giocatore vince con il punteggio di riferimento, perde con 7 e deve ritirare negli altri casi. 1.Scrivere la distribuzione di probabilità della sommaXdi due dadi e calcolare la probabilità che il gioco termini al primo lancio. 2.Calcolare la probabilità che il giocatore abbia vinto sapendo che il gioco è terminato al primo lancio. 3.Calcolare la probabilità che il gioco termini al secondo lancio. 4.Calcolare la probabilità che il giocatore abbia vinto sapendo che il gioco è terminato al secondolancio. 5.Calcolare la probabilità che il gioco non nisca mai. 1 Risultati. 1.Xè variabile aleatoria discreta di densità j23456789101112 p X( j)1 362 363 364 365 366 365 364 363 362 361 361 Si ha quindi P X2 f2;3;7;11;12g =1236 = 13 = 0 :3333. 2.P X2 f7;11g X 2 f2;3;7;11;12g =812 = 23 = 0 :6667. SiaX kla somma al lancio k. Le variabiliX ksono tutte indipendenti fra di loro. Sia C=f4;5;6;8;9;10g l'insieme dei valori per cui il gioco non termina al primo lancio. 3. P (X 12 C)\ (X 2= X 1) [(X 2= 7) ! =X j2CP  X1= j; X 22 f j;7g = 2( 336 936 + 436 1036 + 536 1136 ) = 212236 2=61324 = 0 :1883 4.P X2= X 1 ( X 12 C)\ (X 2= X 1) [(X 2= 7) ! =P X12 C; X 2= X 1P (X 12 C)\ (X 2= X 1) [(X 2= 7) ! =2( 336 336 +436 436 +536 536 )61 324 =25324 61 324 = 2561 = 0 :4098 5.P X12 C;1 \ k=2( X k6 =X 1; X k6 = 7)! = limn!1P X12 C;n \ k=2( X k6 =X 1; X k6 = 7)! = limn!1X j2CP X1= j;n \ k=2( X k6 =j; X k6 = 7)! = limn!12( 336  2736  n1 +436  2636  n1 +536  2536  n1) = 0 2 Esercizio 2. SiaXuna variabile di Cauchy di medianam2Re parametro di scalaa >0, ovvero una variabile aleatoria continua di densità fX( x) =1 aa 2 + (xm)2: 1.Disegnare un graco qualitativo dif X. 2.Calcolare la funzione di ripartizioneF Xe disegnarne un graco qualitativo. 3.Calcolare il quantile di ordine, dove0<  0, si consideri ora la parte positiva diX, ovvero X+=( 0;seX0; X;seX0: 6.Calcolare la legge diX +. 7.La variabileX +è discreta, continua o nessuna delle due? 3 Risultati. 2.F X( t) =P(Xt) =Z t 11 aa 2 + (xm)2d x=Z t ma 11 11 + y2d y=1 arctan tma  +12 : 3.P(Xq) =()q=m+atan  12  ! . 4.Per nessuna scelta dimedala variabileXrisulta inL1 : Eh jXji =Z +1 11 a jxja 2 + (xm)2d x= +1;8m2R; a >0: 5.X!min legge pera!0+ dato che FX( t)!8 > < > :0 ;set < m; 12 ; set=m; 1;set > m; per cuiF X( t)!I [m;1)( t) =F m( t)per ogni punto di continuità diF m. 6.F X+( t) =( 0;set