Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione II Prova in Itinere di Probabilità per Ingegneria Matematica2 luglio 2018 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Problema 1.Il reparto di ricerca e sviluppo di una nota azienda chimica sta studiando la temperatura naleTdi una nuova miscela. I ricercatori sanno che uno dei componenti della miscela, ecace80volte su100, ha l'eetto di abbassare tale temperatura nale. Più precisamente, se il componente nonè ecace, il valore diTè casuale con legge(2;  0) e media pari a30 C; se invece il componente è ecace, la temperatura nale media diminuisce di10 C mentre la legge diTdiventa una(2;  1) . SiaXla variabile che indica se il componente è ecace. 1. Determinare la legge diX. 2. Determinare il valore dei parametri reali 0e  1. 3. Calcolare la temperatura nale media. 4. Calcolare la funzione di ripartizione diT. 5. La variabileTè assolutamente continua? È discreta? Qualora possibile, determinarne la densità. 6. Sapendo che la temperatura registrata è superiore a22 C, con quale probabilità il componente è risultato ecace? Ai ricercatori interessa anche un'altra importante variabile termodinamica: =1T . 7. Calcolare il valor medio di . 1 Risultati. 1.XB(0:8). 2. 0=115  C;  1=110  C. 3.E[T] =1 X k=0E [TjX=k]P(X=k) = 0:2
30 C+ 0:8
20 C= 22 C. 4.F T( x) =1 X k=0P (TxjX=k)P(X=k) =( 1" 0:2 e  0x 1+ 0x +0:8 e  1x 1+ 1x #) I[0;1)( x). 5. La variabileTè assolutamente continua perchéF Tè continua su ReC1 a tratti suR. fT( x) = 0:22 0x e  0x + 0:82 1x e  1x! I[0;1)( x): 6.P X= 1 T > 22 C =P T >22 C X = 1 P(X= 1)P  T >22 C =e  122 C (1 + 122 C)
0:81 F T(22 C)= 0 :3546
0:80 :3975= 0 :7137: 7.E[ jX] =( 0; seX= 0; 1; seX= 1;per cui E[ ] =1 X k=0E [ jX=k]P(X=k) = 0:2
 0+ 0 :8
 1= 0 :0933 ( C) 1 2 Problema 2. Sia(X 1; X 2; X 3) un vettore aleatorio inR3 , con funzione caratteristica '(X 1;X 2;X 3)( u 1; u 2; u 3) = exp iu 312  u2 1+ 3 u2 2+ 4 u2 3+ 2 u 1u 3 6u 2u 3  : 1. Qual è la legge del vettore(X 1; X 2; X 3) ? 2. Il vettore(X 1; X 2; X 3) ammette densità congiunta continua? 3. La variabileX 1è indipendente da X 2? È indipendente da (X 2; X 3) ? Si denisca la variabile aleatoriaY=X2 1+13 X2 2e si consideri una successione (Y n) n2Ndi variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite, aventi la stessa legge diY. 4. Determinare la legge diY, la mediaE[Y], la varianzaVar(Y)e il momento secondoE[Y2 ]. 5. Studiare la convergenza quasi certa e l'asintotica normalità diW n= exp Y 1+


+Y n2 n . 6. Studiare la convergenza quasi certa diZ n=Y 2 1+


+Y2 nY 1+


+Y n. 3 Risultati. 1.0 @X 1 X2 X31 AN0 @0 @0 0 11 A;0 @1 0 1 0 33 13 41 A1 A 2. Il vettore(X 1; X 2; X 3) non ammette densità congiunta continua perché det0 @1 0 1 0 33 13 41 A= 33 = 0: 3.X 1è indipendente da X 2perché sono congiuntamente gaussiane e scorrelate. X1non è indipendente da (X 2; X 3) perchéCov(X 1; X 3) = 1 6 = 0. 4.Y=X2 1+13 X2 2 2 (2)perché somma dei quadrati di due normali standard indipendenti. Si può osservare che2 (2) =E(12 ) . E[Y] = 2, Var(Y) = 4, E[Y2 ] = Var(Y) +E[Y]2 = 8. 5. Poiché Y n=1n n X k=1Y k! 2q.c. per la LGN, Y n AN 2;4n  per il TCL, h(x) = e x=2 è misurabile (perché continua) e derivabile inx=E[Y] = 2con derivata h0 (2) =12 e 1 6 = 0, abbiamoWn= eY n= 2 !1e q.c. per la continuità di h; Wn= eY n= 2 AN 1e ; 1n e2 per il metodo Delta 1: 6.Z n=Y 2 1+


+Y2 nY 1+


+Y n! E [Y2 ]E [Y]= 4 q.c. per la LGN e la continuità del rapporto. 4 Problema 3. La Toita, compagnia di assicurazioni di Neo Tokyo, prevede 3 classi di merito per moto- ciclisti, A, B e C, sulla cui base stabilisce il premio annuo per ogni assicurato. Ogni nuovo cliente della Toita parte dalla classe C e, alla ne di ogni anno, in base al numero di incidenti che ha provocato durante l'anno, può cambiare classe di merito e quindi premio da pagare l'anno successivo. La tabella seguente riporta per ogni classe di merito, il corrispondente premio annuo e le regole di evoluzione.Prossima classe se ClassePremio0 incidenti 1 incidente almeno 2 incidenti A200A B C B500A C C C1000B C C Il numero Ndi incidenti provocati in un anno da un motociclista di Neo Tokyo ha distribuzione geometrica traslata di parametrop= 1=2, ovveroP(N=k) =12 k +1, k= 0;1; : : :. I numeri di incidenti provocati in anni diversi sono indipendenti.Tetsuo sottoscrive la sua prima assicurazione con la Toita. SiaX 0la sua classe iniziale valida per stabilire il premio del primo anno,X 1la classe maturata durante il primo anno e valida per stabilire il premio del secondo anno, in generaleX nla classe maturata durante l'anno n-esimo e valida stabilire il premio dell'anno(n+ 1)-esimo. L'evoluzione diX nè quindi data da una catena di Markov. 1. Introdurre lo spazioEdegli stati, la distribuzione iniziale, la matrice di transizionePe la corri- spondente rappresentazione tramite grafo. 2. Trovare la distribuzione congiunta diX 1e X 3. 3.X 3è indipendente da X 1? 4. Quanto vale il premio atteso che Tetsuo dovarà pagare per il suo secondo anno con la Toita? 5. Classicare gli stati della catena. 6. Determinare le distribuzioni invarianti. Supponiamo che Tetsuo sia destinato a rimanere con la Toita per molti anni.7. Quanto varrà il premio medio pagato da Tetsuo ogni anno? 8. Qual è frazione di anni in cui Tetsuo riuscirà a pagare il premio minimo? 5 Risultati. 1.E=fA,B,Cg,v= (0;0;1),P=0 @1 =2 1=4 1=4 1=2 0 1=2 0 1=2 1=21 A. 2. La legge diX 1è v1= v 0P = (0;1=2;1=2) mentre la matrice di transizione a due passi è P2 =0 @3 =8 1=4 3=8 1=4 3=8 3=8 1=4 1=4 1=21 A per cuiX1n X 3ABC A0000 B1/83/163/161/2 C1/81/81/41/2 1/45/167/161 3.X 3non è indipendente da X 1: P(X 1= C; X 3= C) =14 6 =12
716 = P(X 1= C)P(X 3= C). 4. DettoY 1il premio che Tetsuo dovrà pagare al secondo anno, E[Y 1] = 200
0 + 500
12 + 1000
12 = 750 : 5. Catena irriducibile con tutti gli stati aperiodici e ricorrenti. 6. C'è un'unica distribuzione invariante = (2=7;2=7;3=7): 7. Essendo la catena irriducibile, dettoY kil premio che Tetsuo dovrà pagare per l'anno k+ 1, lim n!11n + 1n X k=0Y k= 200
27 + 500
27 + 1000
37 = 4
4007 = 628 :57q.c. 8. Essendo la catena irriducibile,lim n!11n + 1n X k=0I (X k= A)=  A=27 = 0 :2857q.c. 6