Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica 2 Febbraio 2017 c ⃝I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1: SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una distribuzione con legge: f(x;) = 4( x1)3 (1)4I (1;)( x); dovee un parametro positivo incognito, >1. (a) Determinare una statisitcaTstatistica sufficiente per. (b) Utilizzando la de nizione di completezza stabilire seTe completa per. (c) Trovare l'UMVUE per. (d) Costruire una quantita pivotQper. (e) Costruire l'intervallo di con denza di livello 1basato suQdi lunghezza minima. 1 Esercizio 2: SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una distribuzione con legge: f(x;) =1 2x e x= I[0;+1)( x) dovee un parametro positivo incognito, >0. (a) Costruire il LRT di livelloperH 0:  0vs H 1:  >  0. (b) Dimostrare cheT=∑ n i=1X ie una statistica sufficiente minimale e completa per . (c) Dimostrare cheTha MLR (rapporto di likelihood monotono). (d) Costruire il test UMP di livelloperH 0:  0vs H 1:  >  0. (e) Confrontare i test costruiti al punto (a) e al punto (d). 2 Esercizio 3 Il dataset \USA.txt" contiene anche i valori delle seguenti variabili, espresse nelle opportune unita di misura, per i 50 Stati Americani:LifeExp(aspettativa di vita di ciascuno stato) ePosition(variabile categorica, che assegna ogni stato ad un'area geogra ca: W - west, MW - MidWest, NE - NorthEast, S - South). Si vuole effettuare un'indagine per comprendere se l'area geogra ca in uisce sull'aspettativa di vita. Si eseguano le seguenti analisi, a partire dal dataset proposto, commentando opportunamente tutti i passaggi:(a) Indagine esplorativa dei dati mediante boxplot affiancati (riportare un disegno qualitativo). (b) Fitting del modello lineare. Che tipo di matrice disegno e stata usata? Cosa confronta? (c) Ricostruire a partire dalle stime del modello lineare l'aspettativa di vita media in ognuno dei 4 gruppi di stati. Ci si poteva aspettare i risultati evidenziati dai test sui coefficienti del modello osservando i boxplot iniziali? Perche? (d) Veri ca delle ipotesi per il modello scelto. Cosa si puo concludere? 3