Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica 8 Luglio 2016 c ⃝I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1: SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una distribuzione con legge Geometrica di parametro p2(0;1): P(X i= k) =p(1p)k 1 ;8k1E[X i] =1 pVar [X i] =1 p p2 (a) Si trovi una statistica sufficiente, minimale e completa per il parametrop; (b) Si calcoli lo stimatore di massima verosimiglianzab pperp; (c) Si discuta consistenza, asintotica normalita e asintotica efficienza dib p; (d) Si proponga uno stimatore non distorto perp; (e) Si calcoli lo stimatore UMVUE perpnel caso di un campione di ampiezzan= 2. 1 Esercizio 2:SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una distribuzione con la seguente densita di probabilita: f(xj) = 2 2 x31 (;1)( x);  >0: (a) Si calcoli lo stimatore di massima verosimiglianzab per; (b) Si calcoli la densita di probabilita dib ; (c) Si trovi la regione critica di livello2(0;1) basata sul rapporto di versimiglianza per il test d'ipotesi: H0: = 0vs H 1: ̸ = 0,  0> 0; (d) Utilizzando la regione critica costruita al punto (c), trovare un intervallo di con denza perdi livello (1); (e) Utilizzando la quantita pivotaleQ=b =, trovare la costantec >0 affinche l'intervallo di con denza (0;b c) persia di livello (1). 2