Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica 8 Settembre 2016 c ⃝I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1: SiaX 1; ::; X nun campione casuale d'ampiezza n1 in cui ciascuna variabile abbia legge: f(x;) =( x + 1 2) 1(1;1)( x); dovee un parametro reale tale chejj>2. (a) Si calcoli media e varianza di ciascuna variabileX i. (b) Si costruisca lo stimatore dei momenti per. Fornisce sempre stime ammissibili? (c) Si stabilisca la consistenza e l'asintotica normalita di . Fissato un valore 0> 2, si consideri ora il test d'ipotesi: H0: = 0vs H 1: = 0; (1) e si risolvano i seguenti punti:(d) Si costruisca una regione critica asintoticamente di livello2(0;1) per il test d'ipotesi in (1). (e) Considerando una sola osservazione (n= 1), si dimostri che la regione criticafX 1> 0grappresenta il test UMP di livello= 0:1 per il test d'ipotesi in (1) con 0= 5 =4. 1 Esercizio 2: SiaX 1; ::; X nun campione casuale d'ampiezza n1 in cui ciascuna variabile abbia legge: f(x;) =1 x log()1 (1;1)( x); dovee un parametro reale tale che >1. (a) Si troviWstatistica sufficiente, minimale e completa per. (b) Si costruisca lo stimatore di massima verosimiglianza^ per. (c) Si calcoli la media di ciascuna variabileX ie si mostri che^ e consistente per. Fissato un valore 0> 1, si consideri ora il test d'ipotesi: H0: = 0vs H 1: ̸ = 0; (2) e si risolvano i seguenti punti:(d) Si costruisca la forma della regione critica per il test d'ipotesi in (2) basata sul rapporto di verosimiglianza. 2 Esercizio 3:Il dataset i uti.txt" riporta i quintali di ri uti raccolti mensilmente nella citta di Numana a partire dal gennaio 2014 (t = 1) no al maggio 2016 (t = 29). Si supponga di voler studiare il comportamento della quantita di ri uti in funzione del tempo assumendo un modello del tipo: Ri uti = 0+ 1t + 2( 1cos( 2 12t)) +ϵ conϵnormalmente distribuito con media nulla e varianza2 incognita. Si possono interpretare i primi due termini come il contributo dei residenti, e il terzo come quello stagionale dei turisti. (a) Si stimino i parametri incogniti del modello, valutando le assunzioni fatte e giusti cando l'uso degli stimatori proposti. (b) Stabilire, mediante un opportuno test, se vi e evidenza statistica di un contributo signi cativo da parte dei residenti. (Speci care ipotesi nulla e ipotesi alternativa, regione critica e p-value del test). (c) Stabilire, mediante un opportuno test, se vi e evidenza statistica di una contributo signi cativo da parte dei turisti nell'aumentare o quantomeno non diminuire la quantita di ri uti dovuta ai residenti (Speci care ipotesi nulla e ipotesi alternativa, regione critica e p-value del test). (d) Il centro di ricerca della regione Marche ritiene che la crecita imputabile ai residenti sia quanti cabile in un incremento di 10 quintali al mese. Avvalorare o smentire questa affermazione con un opportuno test statistico. (Speci care ipotesi nulla e ipotesi alternativa, regione critica e p-value del test). (e) Si fornisca una stima puntuale e una intervallare per la quantita di ri uti che verranno raccolti nel giugno 2016. 3