Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica 26 Settembre 2016 c ⃝I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1: SiaX 1; ::; X nun campione casuale d'ampiezza n1 in cui ciascuna variabile abbia legge: f(x;) = x2e  x1 (0;+1)( x); dovee un parametro reale positivo >0. (a) Si troviWstatistica sufficiente, minimale e completa per. (b) Si costruisca lo stimatore di massima verosimiglianza^ per. (c) Si stabilisca se^ e consistente per. (d) Si costruisca l'UMVUE per. Si consideri ora un campione di ampiezzan= 1. (e) Si costruisca il test UMP di livelloper la veri ca delle ipotesi H0: = 0vs H 1: = 1; con 1>  0. (f ) Si costruisca il test UMP di livelloper la veri ca delle ipotesi H0: = 0vs H 1:  >  0; 1 Esercizio 2: SiaX 1; ::; X nun campione casuale d'ampiezza n1 in cui ciascuna variabile abbia legge: f(x;) =x K1 f1;2;:::;g( x); dovee un parametrointerotale che1. (a) Si calcoli la costanteKin funzione di. (b) Si costruisca lo stimatore dei momenti pere stabilire se e consistente. Fornisce sempre stime ammissibili?(Suggerimento: puo essere utile ricordare che∑ n j=1j =n(n+ 1)(2n+ 1)=6). (c) Si costruisca lo stimatore di massima verosimiglianza^ pere stabilire se e consistente. Fornisce sempre stime ammissibili? (d) Si costruisca la regione critica basata sul rapporto di verosimiglianza per il test di ipotesi:H0:  0vs H 1:  >  0; (1) 2 Esercizio 3:Un noto supermercato inglese ha raccolto mediante un sondaggio alcuni dati relativi alla spesa mensile (maggio 2016) di 100 suoi clienti abituali (vedi le esco.txt"). In particolare, sono riportati: spesa mensile [$] in generi di prima necessita, stipendio mensile [$], status single/non-single, sesso uomo/donna. (a) Si adatti un opportuno modello per spiegare la spesa mensile in funzione dello stipendio e dello status. Si provi con un opportuno test statistico che la covariata sesso non e signi cativa. (Speci care ipotesi nulla e ipotesi alternativa, regione critica e p-value del test) (b) Si costruisca un modello ridotto (escludendo il sesso) e uno che tenga conto anche dell'interazione tra i restanti predittori. Si confrontino con opportune tecniche statistiche i due modelli. (c) Si scriva escplicitamente il modello adattato. (d) Si fornisca una stima intervallare della spesa media mensile di un cliente single con uno stipendio di 1200$. 3