Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica7 Settembre 2017 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1 Si consideri un campione composto da un'unica varibile aleatoriaXavente la seguente densita di probabilita: f(x;) = x ln()1 (0;1)( x) =e xln() ln()1 (0;1)( x); con parametro reale >1. (a) Si calcoli la funzione di ripartizioneF(t) diX. (b) Si mostri che la variabileF(X) e una quantita pivotale. (c) Si determini l'intervallo di con denza per ln() di livello 12(0;1) d'ampiezza minima, basato sulla quantita pivotaleF(X). Se ricavi da esso un intervallo di con denza perdi livello 12(0;1): (d) Si mostri che la variabileQ=Xln() e una quantita pivotale. (e) Si determini l'intervallo di con denza del tipo [c;1] di livello 12(0;1), basato sulla quantita pivotaleQ. 1 Esercizio 2 Si consideri la seguente funzione: f(x;; c; d) =cx(1x2 ) 1(0;d)( x); dove,cedsono tre parametri reali positivi. (a) Calcolare il valore dicedanche la funzionef(x;; c; d) sia la densita di probabilita di una variabile aletoria continua per ogni >0. SiaX 1; ::; X nun campione casuale d'ampiezza n1 in cui ciascuna variabile abbia densitaf(x;), dove i valori dei parametricedsono quelli calcolati al punto (a). (b) Determinare una statistica suciente minimale e completa T pere se ne riconosca la legge. (c) Si determini la regione critica di livello2(0;1) del test UMP per la coppia di ipotesi H0: 1=2 vsH 1: