Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica10 Settembre 2018 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1. SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una distribuzione con legge: f(x;; b) =x  1b I (0;b)( x); doveebsono due parametri positivi incogniti, >0; b >0. (a) Stabilire se la legge diX iappartiene alla famiglia esponenziale e trovare una statistica suciente e minimale per (; b). (b) Si assuma chesia noto. Determinare gli stimatori^ bM L(massima verosimiglianza) e^ bM OM(metodo dei momenti) perb. (c) Studiarne la consistenza di^ bM Le di^ bM OM. (d) Determinare una quantita pivotaleQperb. (e) Determinare l'intervallo di con denza di livello 1perbbasato suQdi lunghezza minima. 1 Esercizio 2 SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una distribuzione con legge: f(x;) =x 1 e ln(x) I(1;+1)( x) dovee un parametro incognito positivo, >0. (a) Trovare una statistica suciente minimale e completa per. (b) Determinare lo stimatore^ M Ldi massima verosimiglianza per . (c) Determinare la legge asintotica di^ M Le veri care che e asintoticamente eciente. (d) Costruire l'UMVUE per. (e) Costruire il Likelihood Ratio Test di livelloperH 0: = 0vs H 1: 6 = 0. 2 Esercizio 3 All'Universita ittica si sta conducendo un progetto per valutare la salute del Mar Mediterraneo, visto l'aumento nel tempo della presenza di mucillagine. In particolare viene registrata la quantita carbonio perml3 in 6 diverse aree del Mar Mediterraneo. Vengono presi in considerazione la localita (mar Adriatico, mar Tirreno e mar Ionio) e il livello di biodiversita (Alto o Basso). Nel datasetseaqualityle variabili raccolte hanno i seguenti nomi: carbon: livello di carbonio nell'acqua; mare: Adriatico, Tirreno e Ionio; biodiv: Alto e Basso; marebiodiv: AdriAlto, AdriBasso, TirrAlto, TirrBasso, IonAlto e IonBasso. In qualita di statistici, siete invitati a collaborare con il team di ittiologi rispondendo alle seguenti domande:(a) Proporre una rappresentazione ecace dei dati. (b) Dalla rappresentazione gra ca si sospetta che ci sia un'interazione fra i fattorimare-biodiv? (c) Si esegua un'analisi della varianza a due fattori con interazione. (d) Si mostri la matrice disegno utilizzata.(e) Si ricavino le medie per i singoli gruppi a partire dai^ del modello. (f ) Si valutino le ipotesi del modello ed eventualmente si proponga un modello ridotto e se ne riportil'output. 3