Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica26 Luglio 2017 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1: SiaX 1; :::; X nun campione casuale di ampiezza ndi legge gaussiana di media lne varianza 4, conun parametro incognito positivo. (a) PostoU n= c nP n i=1eX i , determinare la costantec nin modo che U nsia stimatore non distorto di . Suggerimento: usare il fatto che, seYN(m; 2 ) allora, pert2R, E etY = etm +12 t2 2 . (b) Calcolare Var [U n] per c ndeterminato al punto precedente. Stabilire se lo stimatore U ne consistente ed asintoticamente normale. (c) Costruire un altro stimatore non distortoV ndi , partendo da quello ottenuto col metodo dei momenti. Stabilire seV ne consistente e determinarne la legge asintotica. (d) Stabilire quale tra i due stimatoriU ne V ndi e preferibile e motivare la scelta. (e) Costruire sulla base diV nun intervallo di con denza asintotico di livello 1 per. 1 Esercizio 2: Si consideri la seguente funzione: f(x;; c) =1 cos x  1(0;c)( x); doveecsono due parametri reali positivi. (a) Calcolare il valore dicanche la funzionef(x;; c) sia la densita di probabilita di una variabile aletoria continua per ogni >0. SiaXuna variabile aleatoria la cui densitaf(x;) e quella ottenuta al punto (a), e si consideri il test d'ipotesi H0:  0vs H 1:  >  0: (b) Calcolare il valore dikanche la regione criticaR=fX > kgsia di livello2(0;1). (c) Calcolare la funzione potenza del test ottenuto al punto (b) e si stabilisca se il test e non distorto. Si consideri ora il test d'ipotesi H0: f 0( x) = cos(x)1 (0;2 ) ( x) vsH 1: f 1( x) = sin(x)1 (0;2 ) ( x): (d) Calcolare la regione critica del test UMP di livello2(0;1). (e) Calcolare la funzione potenza del test ottenuto al punto (d) e si stabilisca se il test e non distorto. 2 Esercizio 3 Il dataset \diabete.txt" contiene informazioni riguardanti 230 soggetti coinvolti in uno studio sulle possibili cause del diabete di tipo 2. In particolare per ogni soggetto sono state riportate nelle opportune unita di misura le seguenti quantita:BMI(Body Mass Index, indice solitamente utilizzato come indice di obesita), Col(colesterolo) eTrig(trigliceridi). Queste quantita sono generalmente considerate fattori di rischio per il diabete di tipo 2. I medici sono interessati a capire se esita un legame tra queste quantita. (a) Si esegua un'analisi esplorativa dei dati. (b) Si adatti un opportuno modello per spiegare se il colesterolo possa dipendere dal livello di trigliceridi edal BMI. Si valuti se sia possibile ottenere un modello piu parsimonioso giusti cando con un opportuno test l'eventuale scelta di un sottomodello. Si valuti la bonta del modello scelto. (c) Si calcoli il pvalue di un test atto a mostrare che il tasso di incremento del colesterolo per un aumentounitario dei trigliceridi sia maggiore di 0.5. (d) Si calcoli un intervallo di con denza per il livello medio di colesterolo e un intervallo di previsione peril livello di colesterolo per un soggetto con livello di trigliceridi pari a 400. Si discuta l'adabilita di queste stime intervallari. 3