Mathematical Engineering - Probabilità

Full exam

doveµµe un parametro incognito,µ2R. (a) Si calcoli la funzione di ripartizione diX i. (b) Si mostri cheX (1)= Min(X 1; :::; X n) µe una statistica su±ciente e minimale perµ. (c) Si calcoli la densitµa della statisticaX (1). (d) Si mostri cheX (1)µe una statistica completa perµ. (e) Sapendo cheE[X (1)] =µ+1 (Facoltativo) Si calcoli lo stimatore^ µ ndi massima verosimiglianza perµ. 1 doveµµe un parametro incognito positivo,µ >0. (a) Si costruisca il Likelihood Ratio Test (LRT) di livello®per le ipotesiH 0:µ=µ 0vsH 1:µ6 =µ 0. (b) Si costruisca un intervallo di con¯denza di livello 1¡®perµ. (c) Si stabilisca se la successione di stimatoriX (n)=2 = Max(X 1; :::; X n)=2 µe consistente perµ 2 FUEL: consumo di carburante per motori, in galloni per persona - POP: popolazione, in migliaia di abitanti - LICENCE: proporzione di patenti nello stato - VEH: macchine, autobus e camion registrati per persona - TAX: tasse statali sul gas, centesimi per gallone - VM: migliaia di miglia di viaggio per veicolo - ID zona: sigla dell'area geogra¯ca di appartenenza dello stato Si vuole innanzitutto indagare se l'appartenenza ad una delle quattro macro-zone in°uisca sui consumi. (a) Si esegua un'analisi della varianza ad una via con il solo fattore "ID zona", completa di analisi prelim- inare e veri¯ca delle ipotesi. (b) Che tipo di matrice disegno µe stata utilizzata in automatico da R? Si riportino le prime 5 righe della matrice disegno, e si dia l'interpretazione dei coe±cienti stimati dal modello. (c) Quanto vale la media del consumo di carburante negli stati del MidWest (MW)? E quella del gruppo di stati del Paci¯c (P)? A fronte dell'indagine svolta, alcuni economisti vogliono indagare piµu approfonditamente le ragioni della dversitµa di consumo. A tal ¯ne, implementano un modello di regressione lineare per spiegare il consumo di carburante in funzione delle variabili a disposizione. (d) Si selezioni un opportuno modello di regressione e si commentino i risultati ottenuti (in particolare le stime dei coe±cienti¯). (e) Si veri¯chino le ipotesi del modello. (f ) Si esegua la previsione del consumo medio di carburante all'interno dello stato di New York (popolazione di 17990 (migliaia di) abitanti, proporzione di patenti pari a 0:57, VEH pari a 0:56, tassazione pari a 15:64 centesimi per gallone e media di miglia (in migliaia) per veicolo pari a 10:442) 3