Mathematical Engineering - Probabilità

Full exam

Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione - AA 2019/2020 II Appello di Probabilità per Ingegneria Matematica - 9 luglio 2020 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. SCRIVERE NELL'ORDINECODICE PERSONA, COGNOME, NOME E LE DATE PREFERITE PER L'ESAME ORALE SUL FOGLIO CHE CONSEGNERETE Esercizio 1.Zerocalcare è stato confermato fra gli ospiti ricorrenti di Propaganda Live, programma che ripartirà a settembre e che per il suo successo prevediamo andare in onda indenitamente. Ogni venerdì sera quindi Zerocalcare potrà partecipare o meno alla puntata settimanale di Propaganda Live, presentando o meno un nuovo fumetto animato. Il tutto dipenderà dal numero di impegni ("accolli") accumulati nella settimana precedente. Numerate a partire dan= 0le prossime puntate del programma, l'evoluzione del comportamentoX ndi Zerocalcare sarà quella di una catena di Markov con stati: N = Zerocalcare non partecipa, P = Zerocalcare partecipa senza un nuovo fumetto animato, F = Zerocalcare partecipa con un nuovo fumetto animato. Sappiamo che, se Zerocalcare non partecipa ad una puntata, allora parteciperà alla successiva senza un nuovo fumetto animato con probabilità15 , mentre parteciperà alla successiva con un nuovo fumetto animato con probabilità35 . Sappiamo anche che, se Zerocalcare partecipa ad una puntata senza un nuovo fumetto animato, il suo codice morale gli impone di partecipare alla successiva portando un fumetto. Inne sappiamo che, se Zerocalcare partecipa con un nuovo fumetto animato, allora la volta successiva potrà ripresentarsi con o senza fumetto oppure non partecipare con ugual probabilità.Ovviamente alla puntata 0 non potrà mancare Zerocalcare, e avrà avuto tutto il tempo per arrivare un nuovo fumetto animato. Determinare: 1.il grafo della catena e la sua matrice stocastica, 2.la classicazione degli stati, 3.le distribuzioni invarianti della catena, 4.la legge diX 0, 5.la legge congiunta diX 1e X 2, 6.il numero atteso di settimane che dovremo aspettare dalla puntata 0 perché Zerocalcare torni conun secondo nuovo fumetto animato, 7.la probabilità che Zerocalcare sia ospite sso, con o senza nuovo fumetto animato, per tre settimaneconsecutive dalla settimana 0 alla settimana 2, 8.la probabilità che fra 100 puntate Zerocalcare sia presente in trasmissione, 9.la percentuale di puntate (alla lunga) dove Zerocalcare si ripresenterà con un nuovo fumetto animato. 1 Risultati. 1.Il grafo èNPF1 =51 =53 =511 =31 =31 =3La matrice stocastica è P=0 @15 15 35 0 0 113 13 13 1 A: 2.La catena di Markov è irriducibile e aperiodica, quindi tutti gli stati sono ricorrenti e aperiodici. 3.La catena è irriducibile quindi esiste un'unica misura invariante. RisolvendoP=, si ottiene = N P F
=122 5 5 12
: 4.X 0 v(0) = fFg= 0 0 1
. 5.X 1ha legge v(1) =v(0) P, ovvero ha legge uniforme sullo spazio degli stati. La legge congiunta di(X 1; X 2) è quindi data dalla densità discreta P X1= i; X 2= j =P X2= j X 1= i P X1= i =13 p ij; ovveroX1n X 2NPF N1/151/151/5 P001/3 F1/91/91/9 6.Poiché la catena è irriducibile, abbiamo  i=1E i[ T i]per ogni stato i, doveE i[ T i] è il tempo medio di primo arrivo inipartendo dai. Inoltre abbiamoX 0= F q.c., ovveroP=P F, e quindi E[T F] = E F[ T F] =1 F= 116 = 1 :83: 7.Dobbiamo calcolare la probabilità dell'evento X06 =N; X 16 =N; X 26 =N . Dato cheX 0= F q.c. e cheX 0= F=)X 06 =N, abbiamo P X06 =N; X 16 =N; X 26 =N =P X16 =N; X 26 =N =59 = 0 :5556: 8.Poichè la catena di Markov è irriducibile e aperiodica sappiamo cheXn v( n) !; n! 1: Supponendon= 100sucientemente grande per utilizzare questa approssimazione, abbiamo P X1006 =N = 1v(100) N' 1 N=1722 = 0 :7727: 9.Poichè la catena di Markov è irriducibile sappiamo che quasi certamente pern! 1 1n + 1n X k=0I (X k= F)!  F=1222 = 0 :5454: 2 Esercizio 2. Sia(X; Y)un vettore aleatorio denito su uno spazio si probabilità( ;A;P)a valori in (R2 ;B)con la seguente densità di probabilità: f(X;Y)( x; y) =xy3 e y I(0;y)( x)I (0;+1)( y): 1.Calcolare la legge marginale diX. Per quali1p