Mathematical Engineering - Probabilità

Exercise 05

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Probabilit  a 2018/2019- Esercizi 5 Variabili aleatorie continue. Esercizio 1.Si consideri lo spazio di probabilita ( ;A;P) = R;B;m 0;1
, dovem 0;1= m(B\(0;1]), 8B2 B, edme la misura di Lebesgue sui boreliani. Si considerino inoltre le funzioniX; Y ; Z: =R!R de nite sull'intervallo (0;1) nel modo seguente: X(!) =1! ; Y (!) =1p ! ; Z (!) = log!; per ogni!2(0;1). Per quanto riguarda il valore diX; Y ; ZsuRn(0;1), si sa solamente cheX; Y ; Zsono costanti su tale insieme. (a)Mostrare cheX,YeZsono variabili aleatorie ben de nite q.c. (b)Determinare le distribuzioni diX,YeZ, mostrando in particolare che si tratta di variabili aleatorie continue. (c)Calcolare le densita di probabilita diX,YeZ. (d)Calcolare i valori attesi diX,YeZ. (e)Esibire un'altra variabile aleatoriae Xcon la stessa legge diX, ma de nita su un altro spazio di probabilita (e ;e A;e P). Esercizio 2.Data una variabile aleatoria reale continuaXcon densitafsimmetrica rispetto a2R, si mostri che (a)e una mediana, (b)SeE[jXj]0, quindi con densita f(x) =e x 1[0;+1)( x); x2R: (a)Calcolare la moda diX. (b)Calcolare il valore attesoE[X] e la varianza Var(X). (c)Calcolare la funzione di ripartizioneF Xdi X. (d)(Proprieta di assenza di memoria) Mostrare cheP(X > s+tjX > s) =P(X > t) per ognis; t >0. (e*)Si inverta il risultato appena ottenuto: seTe una variabile aleatoria reale strettamente positiva tale cheP(T > s+tjT > s) =P(T > t) per ognis; t >0, alloraT E() con=log(P(T >1)). Esercizio 6(Distribuzione Gamma).Si consideriX(; ), variabile aleatoria di distribuzione Gamma di parametri >0 e >0. Si ha quindi f(x) = ( )x  1 e x 1(0;+1)( x); dove e la funzione Gamma (di Eulero) de nita da () :=Z +1 0t  1 e t dt;8 >0: Si ricordi che(+ 1) =();8 >0;e (1) = 1; da cui (n+ 1) =n!,8n2N. In ne (1=2) =p . (a)Si veri chi chefe una densita di probabilita. (b)Si calcolino le mode dif. (c)Si calcolino i momentiE[Xk ],k2Z,+k >0, e la varianza Var(X). (d)Datoc >0, si mostri cheY=cX(; =c). (e)Per=n=2,n2N, si determini la relazione fra i punti percentuali di una (n=2; ) e quelli di una 2 (n) = (n=2;1=2). (f )Per=n2N, si mostri che la funzione di ripartizione diXe data da F(t) = 1n 1 X k=0e t( t)kk ! 1(0;+1)( t): Esercizio 7(Distribuzione normale o gaussiana).SiaX N(; 2 ). (a)Si calcolino media e varianza diX. (b)Si esprimano i punti percentualic di Xin funzione di quelli di una normale standard. Si consideriYdilegge lognormaledi parametrie2 , ovveroY= eX . (c)Calcolare la distribuzione della variabile aleatoriaY, i momenti (ossiaEYk ; k2Z) e la varianza. (d)Si calcoliE[XeX ]. Si consideriZdilegge normale standard, ossiaZ N(0;1). (e)Calcolare la distribuzione della variabile aleatoriaZ2 . 2 (f )Calcolare la legge della variabile aleatoria jZj, il valore atteso, la varianza e i quantili. (g)Si calcoliE Z4 eE etZ 2  ,t2R. Esercizio 8.SiaXuna variabile aleatoria con funzione di ripartizioneF. (a)Si calcoli la legge diY=jXj. (b)Nel caso in cuiFammetta derivata continua, si mostri cheY=jXje continua e se ne calcoli la densita. (c)Nel casoX N(0;1), si cconfronti il risultato ottenuto nei punti (a) e (b) con quanto trovato nel punto (f ) dell'esercizio 7. Esercizio 9.(a)DatiUU (0;1)
e >0, si mostri cheX=1 log U E(). (b)DataXFconFinvertibile, si mostri cheY=F(X)U (0;1)
. (c)DateUU (0;1)
e una funzione di ripartizioneFinvertibile, si mostri cheX=F 1 (U)F. (d*)DataXF, conFcontinua, si mostri cheY=F(X)U (0;1)
. [Suggerimento: siat2(0;1) e G(t) = inffx:F(x)tg. Utilizzando la continuita diF, si mostri cheF(G(t)) =t. Si noti in ne cheF(x)t()xG(t).] (e*)DateUU (0;1)
e una funzione di ripartizioneFcontinua, de nitaG(t) = inffx:F(x)tg, si mostri cheX=G(U) e una variabile aleatoria di leggeF. (f*)DateUU (0;1)
e una distribuzione discreta P0su ( R;B), si trovi una trasformazione misurabile Gtale cheX=G(U)P 0. Esercizio 10.Data una variabile aleatoria continua, non negativaX, con densita di probabilitaf X continua su (0;+1), de niamo asso di fallimento" la funzione hX( t) = lim "!0+P (t < X < t+"jX > t)" ; t > 0: InterpretandoXcome un tempo di attesa, il tasso di fallimento rappresenta la probabilita istantanea di arrivo, sapendo che l'attesa e durata no al tempot. (a)Dimostrare che vale la seguente relazione: hX( t) =f X( t)1 F X( t); t > 0; doveF Xindica la funzione di ripartizione di X. (b)Dimostrare cheF X( t) = 1exp Z t 0h X( s) ds 1(0;+1)( t). (c)Si prendaXcon legge esponenziale di parametro. Determinareh X. (d)Si prendaYcon legge Weibull di parametri >0 e >0, vale a dire fY( t) = t 1 e (t) 1(0;+1)( t): DeterminareF Ye h Y. (e)Discutere il signi cato dei risultati ottenuti nei punti (c) e (d) e il loro legame. 3 Esercizio 11. Il raggioRdi un certo tipo di particella inquinante, espresso in micron, e una variabile aleatoria con densita di probabilita f(x) =( c x e x2 ;perx >0; 0;perx0: (a)Determinare il valore della costante realec. (b)Calcolare la funzione di ripartizione diR. (c)Calcolare la mediana e la media diR. (d)Calcolare la probabilita che una particella abbia un raggio superiore a 2 micron.(e)Calcolare la legge della variabile aleatoriaXche vale 1 seR 3) eP(X3 >27). (d)Si calcoli la media di 3X2 1. (e)Stimare la probabilita cheXassuma valori distanti dalla media piu di 2 unita, utilizzando la disuguaglianza di Chebychev. (f )Stabilire per quali; 2Rsi ha cheY=X 2L1 eZ=1( X1) 2 L1 . 4 Esercizio 14. SianoXU (0;1)
eY(; ); ;  >0. (a)Si stabilisca per quali 2Rla variabile aleatoriaZ=1(1 X) 2 L1 . (b)Si determini, al variare dei parametri; , per quali 2Rla variabile aleatoriaW=Y 2L1 . Si confronti questo risultato con la condizione imposta sueknel punto (c) dell'esercizio 6. Esercizio 15.Ricavo di un'opzione \cal l" europea. Un agente nanziario sottoscrive un contratto che gli da il diritto (ma non l'obbligo) di acquistare un certo titolo ad una data futura ssata, ad un prezzo k >0 anch'esso ssato. DettoSil valore di tale titolo alla data ssata, esso e al momento sconosciuto, ma si ritiene che i suoi possibili valori abbiano distribuzione lognormale, ovvero che siano dati da S= expX; X N(; 2 ); 2R;  >0: Se il valoreSsupererak, l'agente esercitera il suo diritto ricavando la dierenzaSk, altrimenti non lo esercitera e avra ricavo nullo. Sia quindiRil ricavo dell'agente. (a)Calcolare la probabilita di un ricavo positivo,P(R >0). (b)Calcolare la probabilita di un ricavo nullo,P(R= 0). (c)Calcolare la legge del ricavoR. Si tratta di una variabile aleatoria continua? Discreta? Perche? (d)Calcolare il ricavo attesoE[R]. (e)Calcolare limk!0E [R]. Esercizio 16.Petyr Baelish vende a Lord Varys il diritto di comprare fra un anno 50 kg di acciaio di Valyria al prezzo di 100 monete d'oro. Petyr Baelish non conosce il costoXdi 50 kg di acciaio di Valyria fra un anno, ma ritiene che i suoi possibili valori abbiano una distribuzione (approssimativamente) normale di media= 100 e varianza2 = 81. Ovviamente Lord Varys esercitera il suo diritto solo se saraX >100. Sia quindiYla dierenza che Petyr Baelish dovra pagare fra un anno. (a)ScrivereYin funzione diX. (b)Determinare la funzione di ripartizione diY, in termini della funzione di ripartizione della legge normale standard, e tracciarne un gra co qualitativo. (c)Si tratta di una variabile aleatoria continua? Discreta? Perche? (d)Determinare la probabilita che Petyr Baelish non debba aggiungere soldi fra un anno.(e)Determinare il primo e il terzo quartile diY. (f )Determinare il valore atteso e la varianza diY. (g)Se Petyr Baelish vende tale diritto di acquisto ad un prezzo pari al valore atteso diY, con quale probabilita prevede di avere un guadagno positivo? Esercizio 17.Un'industria produce su commissione delle sbarre d'acciaio cilindriche, il cui diametro dovrebbe essere di 4 cm, ma che tuttavia sono accettabili se hanno diametro compreso fra 3:95 cm e 4:05 cm. Il cliente, nel controllare le sbarre fornitegli, constata che il 5% sono di diametro inferiore al minimo tollerato ed il 12% di diametro superiore al massimo tollerato. (a)Supponendo che le misure dei diametri seguano una legge normale, determinarne media e deviazionestandard. 5 (b)Mantenendo la media precedentemente calcolata, determinare quale dovrebbe essere il valore delle deviazione standard anche la percentuale di sbarre con diametro superiore al massimo tollerato sia minore del 5%. Esercizio 18.Sia ( ;A;P) uno spazio di probabilita ssato. Data una variabile aleatoria reale continua X, si mostri che (a)fX2Qge un evento, ossiafX2Qg 2 A, (b)P(X2Q) = 0. Esercizio 19.Si mostri che, seXe una variabile aleatoria continua, la variabile aleatoriaW= minfX;1g puo essere continua o no, a seconda della legge diX. Esercizio 20.DataXvariabile aleatoria continua di densitaf X, si determini la legge di Y=aX+b pera6 = 0. In particolare si riconosca la legge diYperXdi leggeN(; 2 ),U [c; d]
,E(). Esercizio 21.Data una variabile aleatoriaXU [2;1][[1;2]
, calcolarne densita di probabilitaf, medianeme, se esiste, media. Esercizio 22*.Data una variabile aleatoriaXU (0;2)
e un angolo ssato2R, si calcoli la legge diY= sin(X+). Esercizio 23.DataX E(), >0, se ne consideri il suo arrotondamento per eccessoY, ovvero Y=+ 1 X k=1k 1 (k1;k]( X) =dXe: Se quindiXrappresenta un tempo d'attesa,Yrappresenta il corrispondente tempo d'attesa per un osservatore stroboscopico. Si mostri cheYe una variabile aleatoria e se ne calcoli la distribuzione. Esercizio 24.DataX N(2;5), mostrare che esiste un unicoctale cheP(jXj< c) = 0:4. Trovare un valore approssimato diccon metodi di analisi numerica. 6 Probabilit  a 2018/2019- Risultati 5 Esercizio 1.(b)F X( t) = 11t
1[1;+1)( t),F Y( t) = 11t 2
1[1;+1)( t),F Z( t) =( et ;pert 1 (c) (+1)


(+k1) k , =2 (e) ( n=2; ) =2 ( n)=2 Esercizio 7.(a)e2 (b)c = +z , dove z e il punto percentuale di ordine di una normale standard; si noti che c= q 1, dove q 1e il quantile di ordine 1  (c)f Y( t) =f X(log t)t 1 (0;1)( t),EYk =ek +k 2 22 , Var(Y) =e2 +2 (e 2 1) (d)E[XeX ] = (+2 )e + 22 (e)Z2 (1=2;1=2) =2 (1) (f )E[jZj] =q2  , Var( jZj) = 12
,q = z1 2 , dove P(jZj q ) = ez e il punto percentuale di ordinediZ(normale standard), quindiP(Zz ) = . (g)E Z4 = 3,Eh etZ 2i =8 > < > :1p 1 2t; set 0 (b)h X( x) = 2x= (c)E(1=) (d)1/2 e 1/12(e)p= (f ) >2. Esercizio 13.(a)= 1,F X( t) = (1e (t1) )1 (1;+1)( t) (b)f Y( y) =ey 2 1 (e;+1)( y), +1e +1 (c)e 2 (d)14(e)P(jXE[X]j>2)1=4 (f )2R; 0) =  logk  . (b)P(R= 0) =  logk  . (c)F R( t) =  log(k+t)  1[0;+1)( t), quindi ne continua, ne discreta. (d)E[R] =e + 22  +2 logk  k logk  . (e)limk!0E [R] =e + 22 =E[S]. Esercizio 16.(a)Y= max(X100;0) =( 0;seX100; X100;seX >100: (b)F Y( t) =  t
1[0;+1)( t). (c)No e No. (d)0:5. (e)Q 1= 0, Q 3= 6 :07. (f )E[Y] =p 2 = 3 :59, Var(Y) = 22 (1 1 ) = 27 :61. (g)(1p 2 ) = (0 :3989) = 0:6550. Esercizio 17.(a)4.0083 e 0.0355 (b) 0,U [ad+b; ac+b]
sea 0,b E(=a) sea 0; f Y( y) =a e a ( yb) 1(1:b]( y); a