Mathematical Engineering - Probabilità

Exercise 06

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Probabilit  a 2018/2019- Esercizi 6 Vettori aleatori discreti. Esercizio 1.Date due variabili aleatorie realiXeYdi varianza nita e non nulla, de nite sul medesimo spazio di probabilita, si consideri il coeciente di correlazione X;Y=Cov( X; Y) X Y: Si mostri che: (a)seXeYsono indipendenti, allora X;Y= 0; (b) aX+b;cY+d=  X;Yper ogni a; c >0,b; d2R; (c) X;aX+b= a=jaj, per ognia6 = 0; (d)Var 1 YY  X;Y XX = 12 X;Y; (e)j X;Yj = 1 implicaY=aX+bper qualchea6 = 0 eb2R[Suggerimento: utilizzare il punto (d)]. Esercizio 2*.Dato un vettore aleatorioX= (X 1; : : : ; X n), in cui ciascuna variabile aleatoria X iha varianza nita, si mostri cheX2Im(C) +E[X] q.c., ovveroP(X2Im(C) +E[X]) = 1, doveCe la matrice varianza diX. [Suggerimento: si supponga inizialmente cheE[X] = 0 e, in tal caso, si mostri cheX2(Ker(C))? = Im(C) q.c.] Esercizio 3.DateX 1; : : : ; X nvariabili aleatorie reali i.i.d. con momento secondo nito, introdotti =E[X k] ; 2 = Var(X k) ;X n=1n n X k=1X k; S2 n=1n 1n X k=1 XkX n
2 ; W2 n=1n n X k=1 Xk 
2 ; si mostri che:(a)E[X n] = , Var(X n) = 2 =n; (b)P n k=1X2 k=P n k=1( X kX n)2 +nX 2 n; (c)E[S2 n] = E[W2 n] = 2 . Esercizio 4.SianoX 1; : : : ; X nvariabili aleatorie indipendenti con funzioni di ripartizione F X1; : : : ; F Xn. (a)Qual e la funzione di ripartizione diX (n)= max fX 1; : : : ; X ng ? (b)Qual e la funzione di ripartizione diX (1)= min fX 1; : : : ; X ng ? (c)M= minfX 2; X 3g eS=X 1+ X 7sono indipendenti? Le variabili aleatorieX (1)e X (n)sono indipendenti? Si consideri, ad esempio, il caso in cui n= 2 e X1; X 2sono variabili aleatorie i.i.d. bernoulliane di parametro p2(0;1). (d)Come sono distribuiteX (1)e X (2)? (e)X (1)e X (2)sono indipendenti? Esercizio 5.SianoX,Y,Zvariabili aleatorie reali. Mostrare che: 1.SeY=cq.c., per qualche costantec2R, alloraXedYsono indipendenti. 2*.SeP(Z2B)2 f0;1gper ogni borelianoB, alloraZe q.c. costante. 1 3*.Nel caso Y=h(X), per qualche funzione borelianah:R!R,XeYsono indipendenti se e solo seY=cq.c., per qualche costantec2R. Esercizio 6.Un perito elettrotecnico deve costruire un sistema costituito da tre componenti in serie. Egli pesca i tre componenti da una scatola in cui vi sono tre componenti nuovi, due usati ma funzionanti e due difettosi. SianoXedYrispettivamente il numero di componenti nuovi e di componenti usati ma funzionanti tra quelli pescati dalla scatola. (a)Determinare la legge congiunta diXedYe le leggi marginali. (b)Le variabiliXedYsono indipendenti? (c)CalcolareE[X],E[Y],E[X Y]. Scrivere la matrice varianza di (X; Y) e determinare X;Y. (d)Calcolare la legge, il valore atteso e la varianza del numero di componenti pescati funzionanti.(e)Calcolare la probabilita che l'apparecchio funzioni. Esercizio 7.SianoXedYvariabili aleatorie i.i.d. bernoulliane di parametrop=12 e siano U=X+Y eV=jXYj. (a)Mostrare che (U; V) e un vettore aleatorio e determinarne la legge. (b)Calcolare la probabilita cheVsia minore diU. (c)Calcolare la covarianza diUeVe la matrice varianza di (U; V). (d)UeVsono indipendenti? Esercizio 8.SianoXedYdue variabili aleatorie con legge congiunta parzialmente data da: XnY 1510p X00.120.4 5 p Y0.31 (a)Completare la tabella in modo cheXedYsiano indipendenti. (b)CalcolareP(X < Y). (c)Calcolare il valore atteso del vettore (X; Y) eE[X Y]. (d)CalcolareP(jX Yj 5) eP(X+Y >5). (e)SianoU=jX YjeV=X+Y. Calcolare la legge congiunta diUeVe le leggi marginali. Esercizio 9.SiaXuna variabile aleatoria discreta con legge uniforme sull'insieme discretof1;1g. (a)Determinare la legge diX. Sia oraYun'altra variabile aleatoria discreta, indipendente daX, ma con la stessa legge diX. Si introducaZ=X Y. (b)Calcolare la legge congiunta diXeZe le leggi marginali. (c)X,YeZsono indipendenti a coppie? (d)X,YeZsono mutuamente indipendenti? 2 Esercizio 10. DateXeYvariabili aleatorie indipendenti di legge geometrica di parametro 1/2, si de niscaZ= minfX; Yge si calcolino: (a)P(Zk) perk2N, (b)la distribuzione diZ, (c)P(X=Y), (d)P(X > Y). Esercizio 11.SianoT 1e T 2variabili aleatorie indipendenti di legge geometrica di parametro, rispetti- vamente,p 1e p 2, con cui a tempo discreto si descrive la durata aleatoria di due apparecchiature. (a)Scrivere la legge congiunta diT 1e T 2. (b)Calcolare la probabilita degli eventifT 1= T 2g efT 1 T 2g . (c)Trovare la legge della durata del sistema composto dalle due apparecchiature collegate in serie. (d)Trovare la legge della durata del sistema composto dalle due apparecchiature collegate in parallelo.(e)Trovare la legge congiunta diU= minfT 1; T 2g eV= maxfT 1; T 2g . (f )Trovare la legge congiunta diUeW=VU. (g)Trovare la legge diW. (h)UeWsono indipendenti? Esercizio 12.SianoX; Z; Wvariabili aleatorie indipendenti conZeWentrambe con legge di Poisson di parametro >0 eXB(p); p2(0;1). De niamo la variabile aleatoriaY=X Z+W. (a)Determinare le leggi di (X; Y) eY. (b)CalcolareE[Y] e Var(Y) (c)Calcolare Cov(X; Y). Le variabili aleatorieXeYsono indipendenti? Esercizio 13.SianoN ; X 1; X 2; : : : variabili aleatorie indipendenti,Nabbia legge di Poisson di parametro  >0, e ciascuna delleX kabbia legge di Bernoulli di parametro p2(0;1). Si consideri la somma aleatoria (per addendi e per numero di addendi) S=( 0;seN= 0 X1+


+X N; seN6 = 0: (a*)Si mostri cheSeNSsono variabili aleatorie. (b)Qual e la legge diS? (c)Qual e la legge diNS? (d)La sommaSe indipendente daN? (e)Determinare la densita discreta congiunta diSeNS. La sommaSe indipendente daNS? 3 Esercizio 14. SiaXuna variabile aleatoria discreta, con Im(X) =f1;2; : : :g, che soddisfa P(Xk) =1k ; k 1; dove >0 e un parametro reale. (a)Calcolare la densita discreta diX. (b)Calcolare la funzione di ripartizione diX, disegnandone un gra co qualitativo. (c)Per= 1, calcolare il valore atteso diX. Si supponga d'ora in poi= 1. SiaYun'altra variabile aleatoria, indipendente daX, ma con la stessa legge. (d)Calcolare la densita discreta diM= minfX; Yg. (e)Calcolare la densita discreta congiunta diXeX+Y. Esercizio 15.Si consideri l'estrazione dinpalline da un'urna contenenteBpalline bianche eRpalline rosse (B1 eR1). SiaX kla variabile aleatoria bernoulliana che indica se alla k-esima estrazione esce una pallina rossa e siaY=P n k=1X kil numero di palline rosse sulle nestratte. Si risponda ai seguenti quesiti, sia nel caso di estrazione con reimmissione sia nel caso senza reimmissione (in quest'ultimo caso nB+R). (a)Qual e la legge diY? (b)Qual e il valore atteso delleX k? (c)Qual e il valore atteso diY? (d)LeX ksono indipendenti? (e)YeX 1sono indipendenti? (f )Calcolare Cov(X 1; X 2). (g)Calcolare Var(Y) pern= 2. Esercizio 16.Consideriamo in nite prove di Bernoulli indipendenti con probabilita di successop2(0;1). Siano quindi =f0;1gN eA=(E kj k= 1;2; : : :), con Ek= successo alla prova k; e siaPtale chefE kg k2Nrisulti una famiglia di eventi indipendenti con P(E k) = pper ognik. Indicato con!= (! k)1 k=1il generico esito dello spazio campionario , de niamo in ne le variabili aleatorie Xk: !R; X k( !) =! k; k 2N: (a)Le variabili aleatorieX ksono indipendenti? (b)Le variabili aleatorieY=P 2 k=1X ke N=P 7 k=5X ksono indipendenti? (c)Le variabili aleatorieX n=1n P n k=1X ke S2 n=1n 1P n k=1 XkX n
2 sono indipendenti? [Sug- gerimento: per il punto (b) dell'esercizio 3, si ha cheS2 n=1n 1P n k=1X2 knn 1X 2 n; notare poi che X2 k= X k] (d)Se nelle prime 10 prove vengono registrati 2 successi, con quale probabilita almeno un successo si everi cato nelle prime 2 prove? 4 (e)Se nelle prime 10 prove viene registrato almeno un successo, con quale probabilita le prime 8 prove danno esattamente un successo? (f )Introdotte ancheZ= "numero di prove necessarie per il primo successo" eW= "numero di insuccessi prima del primo successo", calcolare le leggi congiunte delle coppie (Z; W), (Y ; Z), (Y ; W). Sono coppie di variabili aleatorie indipendenti? (g)Determinare il coeciente di correlazione Z;We la covarianza Cov( Z; W). Cosa sarebbe cambiato se avessimo realizzato una successione di variabili aleatorieX ni.i.d., X n B(p), in un altro spazio di probabilita ( ;A;P)? Esercizio 17.Esibire due diversi spazi ( ;A;P), uno discreto e uno continuo, su cui e possibile de nire un vettore aleatorio (X 1; X 2), con X 1e X 2indipendenti, X 1 B(n 1; p ),X 2 B(n 2; p ), doven 1; n 22 N ep2(0;1). 5 Probabilit  a 2018/2019- Risultati 6 Esercizio 4.(a)F X(n)( t) =Q n k=1F Xk( t) (b)F X(1)( t) = 1Q n k=1(1 F Xk( t)) (c)S (d)X (1) B(p2 ) eX (2) B(1(1p)2 ) (e)No Esercizio 6. (a)X nY012p X002/352/354/35 13/3512/353/3518/35 26/356/35012/35 31/35001/35 p Y10/3520/355/351 (b)No (c)E[X] = 45=35 = 1:286,E[Y] = 30=35 = 0:857,E[X Y] = 30=35, Var[(X; Y)] = 0:489812=49 12=49 0:4082 , X;Y= r3 10 = 0:5477. (d)p X+Y(1) = 5 =35,p X+Y(2) = 20 =35,p X+Y(3) = 10 =35,E[X+Y] = 75=35 = 2:143, Var(X+Y) = 20=49 = 0:4082. (e)2=7 = 0:2857 Esercizio 7.(a)p (U;V)(0 ;0) = 1=4,p (U;V)(0 ;1) = 0,p (U;V)(1 ;0) = 0,p (U;V)(1 ;1) = 1=2,p (U;V)(2 ;0) = 1=4, p(U;V)(2 ;1) = 0 (b)1/4 (c)Var[(U; V)] = 1=2 0 0 1=4 (d)No Esercizio 8.(a)X nY 1510p X00.120.120.160.4 50.180.180.240.6 p Y0.30.30.41 (b)P(X < Y) = 0:52 (c)E[(X; Y)] = (3;5:2),E[X Y] = 15:6. 6 (d) P(jX Yj 5) = 0:6 eP(X+Y >5) = 0:58. (e)U nV-1451015p U00.1200.120.1600.4 500.180000.18 250000.1800.18 5000000.240.24 p V0.120.180.120.340.241 Esercizio 9. (a)p X( 1) =p X(1) = 1 =2 (b)X nZ 11p X 11/41/41/2 11/41/41/2 p Z1/21/21 (c)S (d)No, infatti P(X= 1; Y= 1; Z= 1) =P(X= 1; Y= 1) =P(X= 1)P(Y= 1)6 =P(X= 1)P(Y= 1)P(Z= 1) Esercizio 10.(a)P(Zk) = 1(1=4)k (b)ZG(3=4) (c)P(X=Y) = 1=3 (d)P(X > Y) = 1=3 Esercizio 11.(a)p (T 1;T 2)( k; h) =p 1(1 p 1)k 1 p2(1 p 2)h 1 , per ognik= 1;2; : : :e per ognih= 1;2; : : : (b)p 1p 2= (p 1+ p 2 p 1p 2) e p 2= (p 1+ p 2 p 1p 2) (c)minfT 1; T 2g  G(p 1+ p 2 p 1p 2) (d)maxfT 1; T 2g  F(k) = 1(1p 1)k
1(1p 2)k
(e)Chiaramente (U; V)2NN. La densita discreta congiunta di (U; V) e la seguente p(U;V)( i; j) =8 < :p (T 1;T 2)( i; i) =p 1p 2(1 p 1)i 1 (1p 2)i 1 i=j; i2N pT1;T 2( i; j) +p T1;T 2( j; i) =p 1p 2[(1 p 1)i 1 (1p 2)j 1 +(1p 1)j 1 (1p 2)i 1 ]i < j; i; j2N 0altrimenti (f ) p(U;W)( i; j) =p (U;V)( i; j+i) =8 < :p 1p 2(1 p 1)i 1 (1p 2)i 1 i2N; j= 0 p1p 2(1 p 1)i 1 (1p 2)i 1 [(1p 1)j + (1p 2)j ]i; j2N 0 altrimenti (g) pW( j) =+ 1 X i=1p (U;W)( i; j) =8 < :p 1p 2p 1+ p 2 p 1p 2j = 0 p1p 2p 1+ p 2 p 1p 2[(1 p 1)j + (1p 2)j ]j2N 0 altrimenti 7 (h)S Esercizio 12.(a)Per ognin2N pX;Y(0 ; n) = (1p)e nn !; p X;Y(1 ; n) =pe 2(2 )nn !; p Y( n) =pe 2(2 )nn !+ (1 p)e nn !: (b)E[Y] =(p+ 1);Var(Y) =2 (pp2 ) +(1 +p). (c)Cov[X; Y] =p(1p). Non sono indipendenti. Esercizio 13.(b)SP(p) (c)NSP((1p)) (d)NedSnon sono indipendenti, infattiP(S=n+ 1; N=n) = 06 =P(S=n+ 1)P(N=n) (e)p (S;NS)( i; j) = i+j i
pi (1p)j e i +j( i+j)!, per ogni i; j= 0;1;2; : : :. QuindiSeNSsono indipendenti, dato chep (S;NS)( i; j) =p S( i)p NS( j). Esercizio 14.(a)p X( k) =P(X=k) =1k 1( k+ 1), per ogni k1. (b)F X( t) = 11([ t] + 1) I[0;+1)( t). (c)E[X] =+ 1 X k=11k + 1= + 1: (d)p M( k) =P(M=k) =1k 21( k+ 1)2=2 k+ 1k 2 (k+ 1)2, per ogni k1. (e)p (X;X+Y)( k; j) =P(X=k; X+Y=j) =p X( k)p X( jk) =1k (k+ 1)(jk)(jk+ 1), per ogni j > k1. Esercizio 15.(a)Con reimmissione:YB(n; p),p=R=(B+R). Senza reimmissione (simultanea):Y H(B+R; R; n), ovveroYha leggeipergeometricadi parametriB+R,R,n, quindi pY( k) = R k
B nk
B+R n
; per ogni interoktale che maxf0; nBg kminfn; Rg: (b)Con reimmissione:E[X k] = p=R=(B+R), per ognik2N. Senza reimmissione:E[X k] = p=R=(B+R), per ognikR+B. (c)E[Y] =np. 8 (d)Con reimmissione: s. Senza reimmissione: no. (e)No, infattiP(X 1= 0 ; Y=n) = 06 =P(X 1= 0) P(Y=n). (f )Cov(X 1; X 2) = 0, dato che X 1e X 2sono indipendenti, oppure Cov( X 1; X 2) = RB +RBB +R1B +R1. (g)Var(Y) = 2p(1p) oppure Var(Y) = 2p(1p)(11B +R1). Esercizio 16.(a)S (b)S(c)No, infattiS2 n= h(X n), dove h(x) =nn 1x (1x) (d)P(X 1+ X 2 1jP 10 k=1X k= 2) = 17 =45 = 0:38 (e)P(P 8 k=1X k= 1 jP 10 k=1X k 1) = 8p(1p)7 =[1(1p)10 ] (f )p (Z;W)( i; j) =p(1p)i 1 sej=i+ 1, ep (Z;W)( i; j) = 0 altrimenti. p(Y ;Z)( i; j) =8 > > > < > > > :p (1p)j 1 ;sei= 0; j3; p(1p);sei= 1; j= 1;2; p2 ;sei= 2; j= 1; 0;altrimenti: In nep (Y ;W)( i; j) =p (Y ;Z)( i; j+ 1). Nessuna coppia e costituita da variabili aleatorie indipendenti. (g) Z;W= 1 e Cov( Z; W) = Var(Z) = (1p)=p2 . Esercizio 17.Indichiamo conp 1e p 2le densita discrete di B(n 1; p ) eB(n 2; p ), rispettivamente, quindi p1( k) = n1 k pk (1p)n 1 k ; p2( h) = n2 h ph (1p)n 2 h ; 8k= 0; : : : ; n 1; h = 0; : : : ; n 2. ( ;A;P)discreto. Siano =f0; : : : ; n 1g  f 0; : : : ; n 2g ,A= 2 eP:A ![0;1] tale che P(f(k; h)g) =p 1( k)p 2( h) = n1 k pk (1p)n 1 k n2 h ph (1p)n 2 h : SianoX 1; X 2: !Rtali che X1( k; h) =k; X 2( k; h) =h: ( ;A;P)continuo. Sia ( ;A;P) = (R2 ;B2 ; U([0;1][0;1])). De niamoX 1; X 2: !Rcome segue: X1( ! 1; ! 2) =8 > > > > > > > < > > > > > > > :0 ;0! 1< p 1(0) ; . . . k; p1(0) +


+p 1( k1)! 1< p 1(0) +


+p 1( k); . . . n1; p 1(0) +


+p 1( n 1 1)! 1< 1; X2( ! 1; ! 2) =8 > > > > > > > < > > > > > > > :0 ;0! 2< p 2(0) ; . . . h; p2(0) +


+p 2( h1)! 2< p 2(0) +


+p 2( h); . . . n2; p 2(0) +


+p 2( n 2 1)! 2< 1: 9