Mathematical Engineering - Probabilità

Exercise 07

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Probabilit  a 2018/2019- Esercizi 7 Vettori aleatori continui. Esercizio 1.Si esibisca un esempio di due variabili aleatorie continueXeYcon legge congiunta continua. Si esibisca poi un esempio di due variabili aleatorie continueXeYcon legge congiunta non continua. Esercizio 2*.Si mostri che due variabili aleatorieXeYsono variabili aleatorie continue e indipendenti se e solo se sono congiuntamente continue con densita congiunta fattorizzabile: esistono due funzioni h1: R!Reh 2: R!Rtali chef (X;Y)( x; y) =h 1( x)h 2( y) q.o. Esercizio 3.DateX; Yindipendenti ed entrambe di leggeE(), >0, si calcoliP(X > Y). Esercizio 4.Sia (X; Y) un vettore aleatorio con densita: f(X;Y)( x; y) =( x(yx)e y ;0< x < y; 0;altrove: (a)Calcolare le leggi diXe diY. (b)XedYsono indipendenti? (c)CalcolareP(X2; Y3). (d)Calcolare il coeciente di correlazione X;Y. (e)Trovare una diversa densita congiunta avente le stesse densita marginali. Esercizio 5.Sia (X; Y) un vettore aleatorio di densita f(X;Y)( x; y) = xe (x+y) sex >0; y >0 0 altrove (a)Quali sono le leggi diXeY? Le variabili aleatorieXeYsono indipendenti? (b)Calcolare Var(X+Y). (c)Si calcolino i valori attesi diU= minfX; YgeV= maxfX; Yg. Esercizio 6.Il vettore aleatorio (X; Y) ha legge uniforme sul quadratoQdi vertici (0;2);(2;0);(4;2);(2;4). (a)Qual e la legge diX? (b)Quanto valeE[X]? (c)Quanto valeP(X < Y)? (d)Quanto valeP(X2; Y1)? (e)XedYsono indipendenti? 1 Esercizio 7. Una misura di resistenza in un circuito elettrico eseguita con uno strumento di risoluzione pari a 1 ohm da una lettura di 12 ohm. La resistenzaRdel circuito risulta pertanto descritta da una variabile aleatoria con distribuzione uniforme tra 11.5 e 12.5 ohm. SiaM= 1=Rla conduttanza del circuito. (a)RedMhanno legge congiunta continua? (b)Calcolare i valori attesi diReM. (c)Calcolare la matrice varianza di (R; M). (d)Calcolare il coeciente di correlazione lineare fraReM. (e)Determinare la distribuzione diM. Esercizio 8(Problema dell'ago di Buon).Un ago di lunghezza` >0 viene lanciato su un pavimento decorato con linee parallele distantid >0. Qual e la probabilitapche l'ago intersechi almeno una linea? Esercizio 9.SianoXeYvariabili aleatorie indipendenti con leggeU([0;1]). (a)Si scriva la densita di probabilita del vettore aleatorio (X; Y). Si consideri il vettore aleatorio (U; V) = (X+ 1; X+Y). (b)Calcolarne il valore atteso e la matrice varianza. (c)Se ne calcoli la legge. (d)Il vettore ha componenti indipendenti? Si consideri ora il vettore aleatorio (U; V) = (X+ 1; X+YX Y+X2 Y). (e)Calcolarne il valore atteso. (f )Se ne calcoli la legge. (g)Il vettore ha componenti indipendenti? Esercizio 10.Veri care che seX 1; : : : ; X nsono variabili aleatorie esponenziali indipendenti di parametri 1; : : : ;  n, rispettivamente, allora X(1)= min fX 1; : : : ; X ng  E ( 1+


+ n) : Esercizio 11.SianoX 1; : : : ; X nvariabili aleatorie continue i.i.d. con funzione di ripartizione C1 a tratti. (a)Mostrare cheX (n)= max fX 1; : : : ; X ng e una variabile aleatoria continua e determinarne la densita. (b)Mostrare cheX (1)= min fX 1; : : : ; X ng e una variabile aleatoria continua e determinarne la densita. Esercizio 12.Un componente elettronico e formato da tre elementi indipendenti in serie, ciascuno dei quali ha un tempo di vita esponenziale di parametro= 0:3,= 0:1, = 0:2 rispettivamente. (a)Indichiamo conTil tempo di vita del componente. Qual e la legge diT? (b)Per aumentare l'adabilita e ridurre gli interventi di sostituzione, viene proposto di aggiungere uncomponente identico in parallelo. Qual e la legge del tempo di vitaSdel nuovo complesso? 2 Esercizio 13. DateXeYdi legge congiunta continua con densitaf (X;Y), si consideri Z=X+Y. Si mostri cheZe una variabile aleatoria continua con densita fZ( z) =Z +1 1f (X;Y)( zy; y) dy: Si dimostri questo risultato procedendo nei due modi seguenti:(a)Si calcoli la funzione di ripartizione diZe si determini la densita. (b)Si calcoli la legge di (Z; Y) e si trovi la legge marginale diZ. Esercizio 14.SianoXeYdue variabili aleatorie indipendenti entrambe con distribuzione uniforme su [0;1]. (a)Si calcolino media, varianza e legge diZ=X+Y. (b*)Si trovi la legge diT=X+Y1 fX+Y >1g. Esercizio 15.SianoXU [5;3]
eYU [3;5]
due variabili aleatorie indipendenti. SiaZ= X+Y. (a)Si calcolino media, varianza e legge diZ. (b)Si calcoli il coeciente di correlazione X;Z. Esercizio 16.Sia (X; Y) un vettore aleatorio continuo con densita data da f(X;Y)( x; y) =( 12 ( x+y)e (x+y) ;sex; y >0, 0;altrove. (a)Si calcoli la media di1X +Y. (b)Si determini la legge diX+Y. (c)Si calcoli la media diX+Y. (d)Si calcolino le leggi marginali diXeY. Le variabili aleatorieXeYsono indipendenti? (e)Si calcoli Cov(X; Y). (f )Si calcoliP(X1; Y2). Esercizio 17.Due numeriXedYvengono scelti a caso e indipendentemente con distribuzione uniforme su [0;1]. (a)CalcolareP(jXYj>1=2). (b)SiaZla variabile aleatoria che misura la distanza fraXedY. Qual e la legge diZ? Qual e la distanza media fraXedY? 3 Esercizio 18. Sia assegnata una successioneN ; X 1; X 2; : : : di variabili aleatorie indipendenti, tale che NG(p),p2(0;1), e ciascuna delleX i E (), >0. Si pongaY= minfX 1; : : : ; X Ng . (a*)Si mostri cheYe una variabile aleatoria. (b)Qual e la legge diY? (c)Qual e il valore atteso diY? Esercizio 19.Si mostri che, date due variabili aleatorie indipendentiXeYin L1 , allora necessariamente si ha ancheX Yin L1 . Si mostri pero che, seXeYnon sono indipendenti, allora il prodottoX Ypuo non essere integrabile. Esercizio 20*.Datenvariabili aleatorie realiX 1; : : : ; X n, si de niscano le statistiche d'ordine X(1)= min fX 1; : : : ; X ng ; X(2)= secondo piu piccolo valore di X 1; : : : ; X n; . . . X(n)= max fX 1; : : : ; X ng : (a)Si trovi una formula perX (2)nel caso n= 3 e una formula perX (3)nel caso n= 4. (b)Si trovi una formula perX (k)nel caso n2N, con 1kn. (c)Si mostri che le statistiche d'ordine sono variabili aleatorie e cheX (1) X (2)


 X (n), q.c. . (d)SiaB2 Bn un boreliano diRn tale che: se (y 1; : : : ; y n) 2Balloray 1 y 2


 y n. In altre parole,B f(y 1; : : : ; y n) 2Rn :y 1 y 2


 y ng . Si esprima l'evento ((X (1); : : : ; X (n)) 2B) in termini diX 1; : : : ; X n. (e)Supponiamo ora cheX 1; : : : ; X nsiano i.i.d. con densita continua f. Si mostri cheX (1); X (2); : : : ; X(n)hanno legge congiuntamente continua con densita f(X (1);X (2);:::;X (n))( y 1; : : : ; y n) =( n!Q n i=1f (y i) ; y 1 y 2


 y n; 0;altrimenti: 4 Probabilit  a 2018/2019- Risultati 7 Esercizio 1.Esempio 1:X N(0;1),Y N(0;1) indipendenti. Esempio 2:X=Y N(0;1). Esercizio 3.1/2 Esercizio 4.(a)X(2;1) eY(4;1). (b)No, infattif (X;Y)non e fattorizzabile. (c)P(X2; Y3) = 13e 2 e 3163 . (d) X;Y= 1 =p2. (e)Si puo scegliere~ f(x; y) =xe x 1(0;+1)( x)16 y3 e y 1(0;+1)( y). Esercizio 5.(a)X(2;1),Y E(1). S,XeYsono indipendenti, infattif (X;Y)e fattorizzabile. (b)Var(X+Y) = 3. (c)E[U] = 3=4 eE[V] = 9=4. Esercizio 6.(a)f X( x) = 12 j x2j4
1[0;4]( x) (b)2(c)1/2 (d)1/16(e)No, infattif (X;Y)non e fattorizzabile Esercizio 7.(a)No, infatti il vettore (R; M) non puo ammettere densita congiunta poicheP(M= 1=R) = 1. (b)E[R] = 12 eE[M] = log(12:5=11:5) = 0:08338. (c)Var(R) = 1=12 = 0:08333, Var(M) = 0:000004029, Cov(R; M) =0:0005793. Quindi Var[(R; M)] = 0:083330:0005793 0:0005793 0:000004029 . (d)0:9998. (e)f M( x) =1x 2 1 (112 :5;111 :5)( x). Esercizio 8.p=8 > > > > > < > > > > > :2 `d ; se`d; 2`d 0 @1s1  d`  21 A+ 12 arcsin d`  ;se`d: 5 Esercizio 9. (a)f (X;Y)( x; y) =1 [0;1]2 (x; y). (b) 3=2 1 , 1=12 1=12 1=12 1=6 . (c)(X+ 1; X+Y)U(Q), doveQe il quadrilatero di vertici (1,0), (2,1), (2,2), (1,1). (d)No, infattif (X+1;X+Y)non e fattorizzabile. (e) 3=2 11=12 . (f )f (X+1;X+YX Y+X2 Y)( u; v) =1u 2 3u+31 D( u; v), doveD=f(u; v)2R2 : 1u2; u1v 1 + (1u)2 g. (g)No, infattif (X+1;X+YX Y+X2 Y)non e fattorizzabile. Esercizio 11.(a)f X(n)( x) =n(F X1( x))n 1 fX1( x). (b)f X(1)( x) =n(1F X1( x))n 1 fX1( x). Esercizio 12.(a)T E(0:6). (b)f S( x) = 1:2(1e 0:6x )e 0:6x 1(0;1)( x). Esercizio 13.(a)F Z( z) =R +1 1R zy 1f (X;Y)( x; y) dxdy. (b)f (Z;Y)( z; y) =f (X;Y)( zy; y). Esercizio 14. (a)E[Z] = 1, Var(Z) = 1=6,f Z( z) =8 > > > < > > > :0 z 2= min fz;2zg1 [0;2]( z). (b*)TU([0;1]). Esercizio 15.(a)E[Z] = 0, Var(Z) = 2=3,f Z( z) =8 > > > < > > > :0 z 2= 14 min f2 +z;2zg1 [2;2]( z). (b) X;Z= 1 =p2 '0:7071. 6 Esercizio 16. (a)E[1X +Y] = 1 =2. (b)X+Y(3;1). (c)E[X+Y] = 3. (d)f X( x) =12 (1 + x)e x 1[0;+1)( x),f Y( y) =12 (1 + y)e y 1[0;+1)( y).XeYnon sono indipendenti, infattif (X;Y)non e fattorizzabile. (e)Cov(X; Y) =1=4. (f )52 e 3 '0:1245. Esercizio 17.(a)P(jXYj>1=2) = 1=4. (b)f Z( z) = 2(1z)1 [0;1]( z),E[Z] = 1=3. Esercizio 18.(b)F Y( y) =1 e y1 e y (1p)1 [0;+1)( y). (c)E[Y] =Z +1 0 1F Y( y)
dy=1 p1 plog p. Esercizio 20*.(a)X (2)= max fminfX 1; X 2g ;minfX 1; X 3g ;minfX 2; X 3gg eX (3)= max fminfX 1; X 2g ;minfX 1; X 3g ; minfX 1; X 4g ;minfX 2; X 3g ;minfX 2; X 4g ;minfX 3; X 4gg . (b)X (k)= max fmin i2If X ig ;al variare diItra tutti i sottoinsiemi dink+ 1 elementi dif1; : : : ; ngg. (c)Utilizzando il punto (b), si deduce cheX (k)e una variabile aleatoria. Le disuguaglianze X (1) X(2)


 X (n)seguono dalla de nizione delle statistiche d'ordine. (d)((X (1); : : : ; X (n)) 2B) =[ (( X (1); : : : ; X (n)) 2B), dovevaria su tutte le permutazioni dell'insiemef1; : : : ; ng. 7