Mathematical Engineering - Probabilità

Exercise 08

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Probabilit  a 2018/2019- Esercizi 8 Funzioni caratteristiche. Vettori gaussiani. Esercizio 1.Sia' Xla funzione caratteristica di una variabile aleatoria reale X, quindiX' X. (a)Si mostri cheY=X' X(per ogni u2R,' X( u) e il complesso coniugato di' X( u)). Si mostri anche che' X( u) =' X( u). (b)Si mostri che, se le variabili aleatorieXeWsono i.i.d. con funzione caratteristica', allora XW j'j2 . Esercizio 2.Datip2[0;1] edn2N, indicata con' Xla funzione caratteristica di una variabile aleatoria X, si mostri che: (a)XB(p)()' X( u) =pei u + 1p; (b)XB(n; p)()' X( u) = pei u + 1p
n . Utilizzare i risultati ottenuti per mostrare che: (c)X 1; : : : ; X ni.i.d. B(p) =)X 1+


+X n B(n; p); (d)XB(n; p) indipendente daYB(m; p) =)X+YB(n+m; p). Esercizio 3.Data una variabile aleatoria realeX, si mostri che XG(p); p2(0;1)()' X( u) =p ei u1 ei u (1p): Esercizio 4.Data una variabile aleatoria realeX, si mostri che (a)XU([a; a])()' X( u) =sin( au)au ; (b)XU([a; b])()' X( u) = ei a +b2 usin ba2 u
b a2 u; (c)X E()()' X( u) = iu; (d)Xtale cheX E()()' X( u) = + iu. Si calcolino valore atteso e varianza di queste variabili aleatorie a partire dalle loro funzioni caratteristiche. Esercizio 5.Sia (X; Y) un vettore aleatorio uniformemente distribuito sul rettangoloR=f0x 2;0y1g. (a)Si scriva la densita continua di (X; Y), diXe diY. Le variabili aleatorieXeYsono indipendenti? (b)Si calcolino valore atteso e matrice varianza di (X; Y). (c)Si esprima la funzione caratteristica di (X; Y) in termini delle funzioni caratteristiche diXe diY. Si trovi quindi la funzione caratteristica di (X; Y). Siano oraZ= 2XY,W=Y2 eJ=X. 1 (d)Il vettore aleatorio ( Z; W; J) ammette densita continua? (e)Si calcolino valore atteso e matrice varianza di (Z; W; J). (f )Si esprima la funzione caratteristica di (Z; W; J) in termini delle funzioni caratteristiche diXe di Y. Si trovi quindi la funzione caratteristica di (Z; W; J). (g)Si esprimano le funzioni caratteristiche di (Z; W) e di (W; J) in termini della funzione caratteristica di (Z; W; J). Si trovino quindi le funzioni caratteristiche di (Z; W) e di (W; J). Esercizio 6.SianoX 1; : : : ; X nvariabili aleatorie indipendenti, con X k P ( k) ; k= 1; : : : ; n. (a)Mostrare cheX 1+


+X n P ( 1+


+ n). (b)Si supponga ora cheX 1; X 2; X 3i.i.d.  P(). CalcolareP(X 1+ X 2+ X 3 3jX 1 1). Esercizio 7.DateX 1; : : : ; X nvariabili aleatorie reali i.i.d., siaX n=1n P n k=1X kla loro media campio- naria. Si mostri che:'X n( u) = 'X1( u=n)
n : Esercizio 8.Per ogni >0 e >0, la funzione caratteristica di una variabile aleatoriaX(; ) e data da 'X( u) =  iu  : Mostrare che:(a)X(; ) indipendente daY( ; ) =)X+Y(+ ; ); (b)X 1; : : : ; X ni.i.d.  E() =)X 1+


+X n (n; ); (c)Z N(0;1) =)Z2 (12 ;12 ) = 2 (1), ove2 (1) denota la legge chi-quadrato a 1 grado di liberta. (d)Q=Z2 1+


+Z2 n, con Z 1; : : : ; Z ni.i.d.  N(0;1) =)Q(n2 ;12 ) = 2 (n), ove2 (n) denota la legge chi-quadrato angradi di liberta. Esercizio 9.SianoX(; ) eY( ; ) indipendenti, con >0, >0 e >0. (a)Si considerino le variabili aleatorie T=X+Y ; U=XX +Y: Si mostri che il vettore aleatorio (T ; U) ammette densita continua e la si calcoli. (b)Si provi l'indipendenza delle due variabili aleatorieTeU. (c)Si provi cheT(+ ; ) e cheUBeta(; ), ossiaUha distribuzionebetadi parametrie , la cui densita continua e data da: fU( u) =( + )( )( )u  1 (1u) 1 1(0;1)( u): (d*)Sia (X n) n2Nuna successione di variabili aleatorie, con X 1; X 2; : : :i.i.d.  E(). Posto Sn= X 1+


+X n; si provi che per ogni coppia di interi (k; n), con 1kn, la variabile aleatoriaS kS ne indipendente daS n. Sfruttando quest'ultimo risultato si calcoli il valore atteso diS kS n. 2 Esercizio 10. SianoXeYvariabili aleatorie congiuntamente gaussiane. (a*)Si descriva l'immagineSdel vettore aleatorio (X; Y) al variare di X,  Y,  X,  Ye Cov( X; Y). (b)Si mostri che: (X; Y) ammette densita continuaf (X;Y)()  X> 0, Y> 0 ej X;Yj Y). Esercizio 12.DateXeYindipendenti di leggeN(0;1), si trovi la legge congiunta diU=X+Ye V=XY. Le variabili aleatorieUeVsono indipendenti? Esercizio 13.SianoXedYdue variabili aleatorie indipendenti, tali cheX N(0;1) edY N(0;4). 1.Determinare la legge diZ=X+Y. 2.Determinare la matrice varianza del vettore (X; Z). 3.Determinare la legge congiunta diXeZ. Ammette densita continua? Se s, quale? 4.Determinare la funzione caratteristica del vettore (X; Z). 5.SiaW N(2;1), indipendente dal vettore (X; Z). Qual e la legge di (X; Z; W)? Esercizio 14.DatiX N(0;1) ea >0, si consideriY=( X;jXj< a; X;jXj a: (a)Si trovi la legge diY. (b)Si stabilisca se i vettori (X; X) e (X; Y) sono gaussiani. (c)Si calcoliP(X > Y). (d)Si trovi il coeciente di correlazione X;Y. 3 Esercizio 15. SiaX=0 @X 1 X2 X31 Aun vettore gaussianoN(; C), dove: =0 @0 0 11 A; C=0 @1 1 0 1 2 0 0 0 11 A: (a)Il vettore aleatorio (X 1; X 2) e la variabile aleatoria X 3sono indipendenti? (b)La variabile aleatoriaX 1e il vettore aleatorio ( X 2; X 3) sono indipendenti? (c)Determinare, al variare di2R, la legge del vettore (U; V) de nito come segue: U V = X1 X2+ X 3 (d)Quanto deve valereancheP(U+V >3)>12 ? Esercizio 16.SianoXeYdue variabili aleatorie congiuntamente gaussiane con medie Xe  Y, varianze 2 Xe 2 Y, coeciente di correlazione  X;Y. Detta W=XY, mostrare cheU=jWE[W]je una variabile aleatoria continua e calcolarne la densita. Esercizio 17.Sia (X; Y) un vettore aleatorio con funzione caratteristica '(X;Y)( u; v) = exp i(u+ 2v)12 (3 u2 + 10uv+ 9v2 ) : (a)Riconoscere la legge di (X; Y) e scrivere il vettore delle medie e la matrice varianza. (b)SianoU=XeV=XY, con2R. Determinare la legge del vettore aleatorio (U; V). (c)Trovare l'unico valore positivo ditale per cui le variabili aleatorieUeVsono indipendenti. Esercizio 18.Si consideri il vettore aleatorio X Y  N 0 1 ; 21 1 1 . (a)Determinare i valori ammissibili del parametro2R. (b)Riconoscere le distribuzioni diX e di Y . (c)Determinare il valore del parametro 2Rtale cheE[(X   Y  )2 ] = 2. (d)Si consideri ora il vettore X  Y  , con determinato al punto (c). CalcolareP(maxfX  ; Y  g =Y  ) : 4 Esercizio 19. SianoXeZdue variabili aleatorie indipendenti tali cheX N(0;1) eZabbia legge: P(Z= 1) =12 e P(Z=1) =12 . Si ponga Y=Z X. (a)Che legge haY? (b)Calcolare Cov(X; Y). (c)Mostrare cheX+Ynon e una variabile aleatoria gaussiana. (d)(X; Y) e un vettore gaussiano? (e)XeYsono indipendenti? Esercizio 20.Si provi che seX 1; : : : ; X nsono variabili aleatorie i.i.d. N(; 2 ), con2 >0, allora n X k=1( X k )2 2 2 (n) =  n2 ; 12  : Esercizio 21.SiaX= (X 1; : : : ; X n)  N(; C) un vettore aleatorio gaussiano con matrice varianzaC invertibile. Si mostri che la variabile aleatoria (X)T C 1 (X) ha legge2 (n). Esercizio 22.SianoX 1; : : : ; X nvariabili aleatorie reali i.i.d. N(; 2 ). Si considerinoX n=1n n X k=1X k; Y k= X kX n; S2 n=1n 1n X k=1 XkX n
2 : (a)Si calcoli' (X n;Y 1;:::;Y n). (b)Se ne deduca l'indipendenza diX ne S2 n. (c)Si mostri cheZ=X n  p n  N (0;1). (d)Sapendo cheQ=n 1 2 S2 n 2 (n1), si calcoli la funzione caratteristica' (X n;S2 n). (e)Si calcolino le funzioni caratteristiche' (X 2 n;S2 n)e 'X 2 n+ S2 nnel caso = 0. (f*)Si trovi la densita continua della variabile aleatoriaT=X n q S 2 nn . 5 Probabilit  a 2018/2019- Risultati 8 Esercizio 4.(d)E[X] =1 ; Var(X) =1 2 : Esercizio 5.(a)Le densita di (X; Y); XeYsono date da f(X;Y)( x; y) =12 1 R( x; y)f X( x) =12 1 [0;2]( x)f Y( y) =1 [0;1]( y) S,XeYsono indipendenti. (b)E[(X; Y)] = (1;1=2) e Var[(X; Y)] = 1=3 0 0 1=12 . (c)' (X;Y)( u; v) =' X( u)' Y( v) = ei (u+v2 )sin uu sin( v2 )v 2 . (d)No. (e)E[(Z; W; J)] = (3=2;3=2;1) e Var[(Z; W; J)] =0 @17 =121=122=3 1=12 1=12 0 2=3 0 1=31 A. (f )' (Z;W;J)( u 1; u 2; u 3) = e 2iu 2 'X(2 u 1 u 3) ' Y( u 2 u 1) = ei2 (3 u 1 3u 2 2u 3)sin(2 u 1 u 3)2 u 1 u 3sin( u 2 u 12 )u 2 u 12 . (g)' (Z;W)( u 1; u 2) = ' (Z;W;J)( u 1; u 2; 0) = e32 i (u 1 u 2)sin(2 u 1)2 u 1sin( u 2 u 12 )u 2 u 12 , '(W;J)( u 2; u 3) = ' (Z;W;J)(0 ; u 2; u 3) = e i2 (3 u 2+2 u 3)sin( u 3)u 3sin( u 22 )u 22 . Esercizio 6.(b)P(X 1+ X 2+ X 3 3jX 1 1) =1 e  e 3 52 2 e 31 e . Esercizio 9.(a)f (T ;U)( t; u) =  + ( )( )t  + 1 u 1 (1u) 1 e t 1(0;+1)(0;1)( t; u). (d)E SkS n =kn . 6 Esercizio 11. (a)X N(0;1=6),Y N(0;2=27). (b)= 0 0 ,C= 1=6 1=18 1=18 2=27 ef (X;Y)( x; y) =3p3  e (4x2 6xy+9y2 ) . (c)Z N(0;7=6). (d)12 . Esercizio 12. U V  N 0 0 ; 2 0 0 2 . S, infatti sono congiuntamente gaussiane e incorrelate. Esercizio 13.1.Z N(0;5). 2. 1 1 1 5 . 3. X Z  N 0 0 ; 1 1 1 5 . S, infatti det 1 1 1 5 6 = 0. La densita e data daf (X;Z)( x; y) = 14 e 18 (5 x2 2xy+y2 ) . 4.' (X;Z)( u; v) = e 12 ( u2 +2uv+5v2 ) . 5.Il vettore (X; Z; W) e gaussiano perche formato da due vettori gaussiani indipendenti. 0 @X Z W1 A N0 @0 @0 0 21 A;0 @1 1 0 1 5 0 0 0 11 A1 A. Esercizio 14.(a)Y N(0;1). (b)(X; X) e gaussiano. (X; Y) non e gaussiano. (c)P(X > Y) = 1(a). (d) X;Y= Cov( X; Y) = 4 (a)34p 2 a e a 22 . 7 Esercizio 15. (a)S. (b)No. (c) U V  N 0  ; 1 1 1 2 +2 . (d) >3. Esercizio 16.f U( x) =p2 p  (2 X 2 X;Y X Y+ 2 Y)e 12 x 2 2 X 2 X;Y X Y+ 2 Y1 [0;1)( x). Esercizio 17.(a) X Y  N 1 2 ; 3 5 5 9 . (b) U V  N  12 ; 32 352 352 92 10+ 3 . (c)= 3=5. Esercizio 18.(a)1=2. (b)X  N (0;2) eY  N (1;1). (c)= 1. (d)P(X   Y  ) = (1) '0:8413. Esercizio 19.(a)Y N(0;1). (b)Cov(X; Y) =E[X Y] = 0. (d)No.(e)No. Esercizio 22.(a)' (X n;Y 1;:::;Y n)( u; v 1; : : : ; v n) = eiu 12  2n u2 e 12 2 P n k=1( v kv n)2 , dovev n=1n P n k=1v k. (d)' (X n;S2 n)( u; v) = eiu 12  2n u2 11 2i 2n 1v n 12 . (e)' (X 2 n;S2 n)( u; v) = 11 2i 2n u! 12  11 2i 2n 1v n 12 e'X 2 n+ S2 n( u) = 11 2i 2n u! 12  11 2i 2n 1u n 12 . (f*)f T( x) =( n2 )( n 12 )1p  (n1)1 1 +x 2n 1
n2 ; x 2R. QuindiTt(n1), dovet(n1) e la distribuzionetdi Student conn1 gradi di liberta. 8