Mathematical Engineering - Probabilità

Exercise 12

Divided by topic

Probabilit  a 2018/2019- Esercizi 12 Catene di Markov. Esercizio 1.Sia (X n) n0una catena di Markov, con spazio di stato E=f1;2;3g, legge inizialev= (0;1;0) e matrice di transizione P=0 @1 =2 1=2 0 1=3 1=3 1=3 0 4=5 1=51 A: (a)Tracciare il grafo della catena di Markov e classi carne gli stati. (b)Calcolare la legge congiunta di (X 0; X 1) e di ( X 1; X 2). (c)CalcolareE[X n+1j X n], per ogni n= 0;1; : : : Esercizio 2.Sia (X n) n0una catena di Markov con spazio di stato E=f0;1;2ge matrice di transizione P=0 @1 =2 1=2 0 0 1=3 2=3 1=2 0 1=21 A: (a)Disegnare il grafo della catena e classi carne gli stati. (b)Determinare la matrice di transizione a due passi. Supponendo che la legge diX 0sia descritta dal vettore v= (14 ;12 ;14 ), calcolare: (c)legge, valore atteso e varianza diX 1; (d)la legge congiunta di (X 0; X 2) e ( X 1; X 3); (e)E[X n+2j X n], per ogni n= 0;1; : : : Esercizio 3.Un certo dispositivo elettronico puo trovarsi in tre stati:Aperfettamente funzionante,B parzialmente funzionante,Cnon funzionante. Nello statoAil dispositivo puo eseguire 2000 operazioni al secondo, nello statoBsolo 1000 e nello statoCnessuna. Se un dato giorno il dispositivo e nello statoA, il giorno successivo sara nello statoA con probabilita 2/3, nello statoBcon probabilita 1/4 e nello statoCcon probabilita 1/12. Se un dato giorno il dispositivo e nello statoB, il giorno successivo sara nello statoBcon probabilita 1/2 e nello statoCcon probabilita 1/2. Se un dato giorno il dispositivo e nello statoC, il giorno successivo sara nello statoCcon probabilita 1. Sia oraX n, n= 0;1; : : :, il numero di operazioni al secondo che il dispositivo puo eseguire il giorno (n+ 1)-esimo. a)Determinare il grafo e la matrice di transizione della catena di Markov (X n) n0. b)Determinare la matrice di transizione a due passi.c)Assumendo cheP(X 0= 2000) = 1, calcolare legge, media e varianza di X 2. Esercizio 4.Consideriamo una catena di Markov (X n) n0con spazio di stato E=f0;1;2ge con matrice di transizione P=0 @0 1 =2 1=2 1=2 1=2 0 1 0 01 A: SiaY n= f(X n) dove f(0) = 0,f(1) =f(2) = 1. La successione (Y n) n0e una catena di Markov? 1 Esercizio 5. Sei palline, di cui tre bianche e tre nere, sono inserite casualmente in due urne, indicate con AeB. In ciascuna urna sono posizionate tre palline. A ogni prova si estrae a caso e indipendentemente una pallina dall'urnaAe una dall'urnaBe si scambiano di urna: la pallina estratta dall'urnaAe inserita nell'urnaBe quella estratta dall'urnaBe posizionata nell'urnaA. Sia (X n) n0la successione di variabili aleatorie con X nuguale al numero di palline bianche contenute nell'urnaAdopo l'n-esima estrazione (l'estrazionen= 0 coincide col posizionamento iniziale delle palline). Si vede facilmente che (X n) n0e una catena di Markov. (a)Determinare la legge diX 0. (b)Determinare la matrice di transizione della catena e tracciarne il grafo. E irriducibile? (c)Determinare la probabilita che dopo la seconda estrazione tutte le palline nell'urnaBsiano bianche, sapendo che all'inizio l'urnaAcontiene piu palline bianche dell'urnaB Esercizio 6.Consideriamo una catena di Markov (X n) n0con spazio di stato E=f1;2;3;4;5ge con matrice di transizione: P=0 B B B B @2 =3 1=3 0 0 0 1=2 1=2 0 0 0 0 1=3 1=3 1=3 0 0 0 1=4 1=2 1=4 0 0 0 0 11 C C C C A: (a)Tracciare il grafo della catena, classi carne gli stati e individuarne tutte le classi chiuse. (b)Supponendo che la catena parta dallo stato 4, ossiaP(X 0= 4) = 1, qual e la probabilita di assorbimento nello stato 5? Esercizio 7.Sia dato un sistema dinamico a tempo discreto che ammette cinque stati di funzionamento, numerati da 0 a 4. Questo sistema puo essere descritto da una catena di Markov (X n) n0, ove X nindica lo stato del sistema al tempon= 0;1; : : : Dato lo stato al tempon, al tempon+ 1 il sistema puo, in maniera del tutto casuale, permanere nel proprio stato, procedere al precedente oppure al successivo, con queste eccezioni: lo stato 0 corrisponde al termine del funzionamento del sistema; 3 e 4 sono stati di funzionamento ottimali: una volta entrati in questo regime, il sistema puo, esclusivamente e in modo del tutto casuale, passare dallo stato 3 allo stato 4 e viceversa, oppure permanere nel proprio stato. (a)Scrivere la matrice di transizione della catena e tracciarne il grafo. (b)Classi care gli stati della catena e individuarne le classi chiuse. (c)Assumendo cheP(X 0= 1) = 1, qual e la probabilita di ingresso nel regime di funzionamento ottimale? E di termine del funzionamento? Esercizio 8.Si consideri la catena di Markov (X n) n0con spazio di stato E=f0;1;2;3ge matrice di transizione0 B B @0 1 0 0 0 0 1 0 0 1=2 0 1=2 2=3 0 1=3 01 C C A: (a)Disegnare il grafo della catena. E irriducibile? (b)Calcolare la probabilita che, partendo dallo stato 0, la catena vi ritorni alk-esimo istante, cioe P(X k= 0 jX 0= 0), per k= 1;2;3;4. 2 (c)Provare che la catena ammette un'unica distribuzione invariante e calcolarla. Per tempi lunghi (ossianmolto grande), a quanto ammonta approssimativamente la frazione di tempo trascorsa dalla catena nello stato 1? (d)Assumendo cheP(X 0= 1) = 1, calcolare il tempo mediamente impiegato dalla catena per tornare nello stato 1. Esercizio 9.Una pedina si muove su un percorso a quattro caselle, numerate da 1 a 4. La sua posizione al tempon= 0;1; : : :e descritta da una catena di Markov (X n) n0con matrice di transizione P=0 B B @q p 12 p0 0 0 1 0 1 0 0 0 p p q=2q=21 C C A: dovepeqsono opportuni parametri reali. (a)Determinare i valori ammissibili dipeq. (b)Disegnare il grafo della catena, classi carne gli stati e individuarne tutte le classi chiuse.Si supponga, ora, che la pedina sia posta inizialmente in una casella su cui, una volta allontanatasi, non puo piu tornare. (c)Identi care tale casella e scrivere la legge diX 0. (d)Dopo quanto tempo, mediamente, la pedina abbandona tale casella? (e)Calcolare la densita congiunta diX 1e X 2. (f )Provare che la catena ammette un'unica distribuzione invariante e calcolarla. Esercizio 10.In un giardino ci sono 4 piazzole (siano esseA,B,CeD). La piazzolaAe la piazzolaB sono collegate da vialetti a tutte le altre, mentre le piazzoleCeDsono collegate ciascuna adAeBma non fra loro. Come in ogni giardinetto, i bambini si divertono a scorazzare tra i vialetti. Si e osservato che, ogni volta che arrivano ad una piazzola, scelgono quale vialetto imboccare secondo lo schema seguente (i numeri esprimono probabilita)a Aa Ba Ca Dda A00 :10 :40 :5da B0 :300 :20 :5da C0 :40 :600 da D0 :60 :400 Supponiamo di poter descrivere la situazione mediante una catena di Markov omogenea. a)Disegnare il grafo della catena. E irriducibile? b)Qual e la probabilita che un bambino, partito daA, si ritrovi ancora inAdopo aver percorso due vialetti? c)Supponendo che i bambini siano abbastanza numerosi, quale delle quattro piazzole sara alla lungala piu aollata? Esercizio 11.Un pezzo semilavorato entra in una certa linea produttiva da cui puo usciredifettoso con probabilitap2(0;1),buono con probabilita q2(0;1), oppurerecuperabile con probabilita 1 pq. I pezzi difettosi sono scartati; i pezzi buoni vengono portati in magazzino come pezzi niti; in ne, i pezzi recuperabili rientrano nella linea produttiva per essere nuovamente lavorati. Il processo descritto puo essere schematizzato mediante una successione di variabili aleatorie reali discrete (X n) n0, a valori in E=f0;1;2g, interpretando l'eventofX n= igcome \il pezzo si trova al passonnello statoi": lo stato 0 indica che il pezzo e stato scartato, 1 che il pezzo e semilavorato o recuperabile, 2 che il pezzo e nito. 3 (a)Mostrare che ( X n) n0e una catena di Markov. (b)Identi care lo spazio di stato della catena, scriverne la matrice di transizione e disegnarne il grafo.(c)Classi carne gli stati e individuarne le classi chiuse. (d)Calcolare la probabilita che un pezzo inizialmente semilavorato sia nito entronpassi. Calcolare, cioe,P(X n= 2 jX 0= 1), per n2N. (e)Supponendo cheX 0= 1 q.c., provare che XnD !2Y ;oveYB qp +q : (f )Calcolare le eventuali distribuzioni invarianti. La legge limite trovata al punto (e) e una distribuzioneinvariante? Esercizio 12.Si consideri la catena di Markov con spazio di statoE=f1;2;3ge matrice di transizione 0 @0 1 =2 1=2 1=4 3=4 0 1=4 0 3=41 A: (a)Disegnare il grafo della catena. (b)Mostrare che la catena e irriducibile e aperiodica.(c)Provare che la catena ammette un'unica distribuzione invariante e calcolare limn!1P (X n= 1). (d)Supponendo che la catena parta dallo stato 1, ossiaP(X 0= 1) = 1, calcolare il tempo mediamente impiegato dalla catena per tornare in tale stato. Esercizio 13.E' data una catena di Markov a tempo discreto con spazio di statoE=f1;2;3ge matrice di transizione P=0 @1 =2 1=2 0 0 0 1 1 0 01 A: (a)Disegnare il grafo della catena e classi carne gli stati. (b)Calcolare la probabilita di passare dallo stato 3 allo stato 2 esattamente in 2 passi. (c)Trovare le eventuali distribuzioni invarianti.Si supponga che la catena di Markov parta dallo stato 2. (d)Determinare la legge diX 0. (e)Calcolare il tempo medio di attesa per tornare la prima volta nello stato 2. (f )Scrivere la legge del tempo di attesaTper tornare la prima volta nello stato 2. (g)Indicata conX n=1n P n k=1X k; n 2N;la variabile aleatoriamediacampionaria, determinarne il limite quasi certo, in probabilita e in legge. 4 Esercizio 14. Andrea e alcuni suoi amici decidono di incontrarsi tutti i mercoled sera per giocare a un gioco di ruolo. In questo gioco la orza"Fdi ciascuno e misurata con un numero intero compreso fra 1 e 4. InizialmenteFvale 1 per tutti i giocatori. Ogni sera, al termine della partita, ciascun giocatore lancia un dado a 20 facce per stabilire quanta orza" avra il mercoled successivo; la orza" varia in base al risultatoDdel lancio secondo lo schema seguente:a 1a 2a 3a 4 da 1mai1 D20maimai da 21 D10mai11 D20mai da 31 D2mai3 D1617 D20da 4D = 1maimai2 D20Sia ( F n) n0la successione di variabili aleatorie ove F nindica la orza" di Andrea durante la partita (n+ 1)-esima. Si vede facilmente che (F n) n0e una catena di Markov. (a)Individuare lo spazio degli stati della catena, scriverne la matrice di transizionePe disegnarne il grafo. La catena e irriducibile? (b)Determinare la legge diF 0. (c)CalcolareP(F n= 4) per n= 0;1;2;3. (d)Calcolare la legge, il valore atteso e la varianza diF 3. (e)Calcolare le distribuzioni invarianti perPe discutere il comportamento asintotico della catena. (f )Supponendo i giocatori numerosi, si dica quale sara la forza media del gruppo al primo incontro, alquarto incontro, dopo molti incontri. Esercizio 15.Da quando l'Ing. Rossi e stato assunto allaX Y Z, lavora tutte le settimane dal luned al sabato e ogni giorno lavorativo va a pranzare in trattoria (stato 0), oppure al self-service (1) oppure al bar (2). Ogni giorno decide in maniera del tutto casuale dove andare, con alcune eccezioni: non va mai due giorni consecutivi in trattoria; quando pranza al bar, il giorno dopo va sempre in trattoria.SiaX nla variabile aleatoria che indica il luogo scelto per il pranzo dall'Ing. Rossi al suo n-esimo giorno lavorativo (n= 0 corrisponde al giorno del colloquio con cui e stato assunto). (a)Giusti care il fatto che (X n) n0e una catena di Markov a tempo discreto. (b)Scrivere la matrice di transizione della catena e tracciarne il grafo.(c)Classi care gli stati della catena e discuterne il comportamento asintotico. (d)Sapendo che oggi l'Ing. Rossi e andato al self-service, qual e la probabilita che vada al bar dopodo-mani? Supponiamo che, per un periodo di tempo sucientemente lungo, i tre locali abbiano proposto dei pranzi a menu sso e che l'Ing. Rossi abbia sempre optato per questa scelta. I prezzi dei menu sono i seguenti: Trattoria: 8e; Self-service: 6e; Bar: 5e. (e)Calcolare la spesa media giornaliera approssimativamente sostenuta dall'Ing. Rossi nel corso delperiodo di tempo considerato. 5 Esercizio 16. Jonathan e Paolino ricevono ciascuno una moneta da 1ee iniziano un gioco con cui, in base al risultato del lancio delle loro monete, si decide chi vince la moneta dell'altro. Nel caso di due risultati diversi, vince chi ha ottenuto croce e il gioco termina, altrimenti ognuno tiene la propria moneta ed il gioco si ripete.Questo meccanismo puo essere descritto mediante una successione di variabili aleatorie reali discrete (X n) n0, dove X nrappresenta il numero di monete possedute da Paolino fra i lanci n- e (n+ 1)-esimo. (a)Mostrare che (X n) n0e una catena di Markov. (b)Determinare lo spazio di stato della catena, la legge diX 0, la matrice di transizione P. Disegnare, inoltre, il grafo della catena. (c)Classi care gli stati della catena ed elencarne le classi chiuse. (d)Calcolare la probabilita che il gioco non sia ancora nito dopo il terzo lancio.(e)Calcolare la probabilita che il gioco nisca a favore di Paolino esattamente con tre lanci.(f )Provare che la matrice di transizione ak-passi, cioePk , e data da Pk =0 @1 0 0 12 (1 12 k )12 k12 (1 12 k ) 0 0 11 A; k2N: (g)Determinare le eventuali distribuzioni invarianti per la catena. Esercizio 17.Una stampante serve due PC, indicati con A e B. La stampante puo trovarsi in tre stati: 0 se inattiva, 1 se serve il PC A, 2 se serve il PC B. Supponiamo di formulare un modello in cui l'evoluzione degli stati della stampante, operazione dopo operazione, segua una catena di Markov a tempo discreto (X n) n0, con matrice di transizione P=0 @12 14 14 1 0 0 1 0 01 A: I due PC inviano compiti alla stampante con uguale frequenza e il sistema di comunicazione tra stampante e PC e cos progettato: la stampante impiega solo un'unita di tempo per portare a termine qualsiasi compito; se per caso i due PC richiedono contemporaneamente un servizio, la stampante decide casualmente chi accontentare. Si e, inoltre, calcolato il costo di ciascuna operazione della stampante (per elettricita, materiali di consumo, ecc. . . ): 0,06eper ogni istante di inattivita della stampante; 0,48eper ogni istante di attivita della stampante. (a)Disegnare il grafo della catena e spiegare da quali elementi dalla matrice di transizione si possonodedurre le caratteristiche del sistema di comunicazione tra stampante e PC sopra esposte. (b)La catena e irriducibile? E aperiodica? (c)Determinare le eventuali distribuzioni invarianti. (d)Alla ne del proprio ciclo operativo, e piu probabile che la stampante sia stata per la maggior partedel tempo attiva o inattiva? Qual e stato approssimativamente il costo medio per operazione? D'ora in avanti, supponiamo che la legge diX 0sia descritta dal vettore  0= 23 ;16 ;16
. (e)Calcolare la probabilita che al tempon= 2 la stampante stia servendo il secondo computer (f )Calcolare la probabilita che al tempon= 0 la stampante fosse inattiva, sapendo che al tempon= 2 sta servendo il secondo computer. 6 Probabilit  a 2018/2019- Risultati 12 Esercizio 1.(a)La catena e irriducibile, dunque tutti gli stati sono ricorrenti, e aperiodica. (b)La legge di (X 0; X 1) e data da P(X 0= i; X 1= j) =8 < :13 ; i = 2; j= 1;2;3; 0;altrimenti: La legge di (X 1; X 2) e data da X1n X 2123 11 =61 =60 21 =91 =91 =9304 =151 =15(c) 32 1 fX n=1 g+ 2 1 fX n=2 g+115 1 fX n=3 g; n = 0;1; : : : Esercizio 2.(a)La catena e irriducibile, dunque tutti gli stati sono ricorrenti, e aperiodica. (b) P2 =0 @1 =4 5=12 1=3 1=3 1=9 5=9 1=2 1=4 1=41 A (c) P(X 1= k) =8 > > > > > > > > < > > > > > > > > :14 ; k = 0; 724 ; k = 1; 1124 ; k = 2; 0 altrimenti.E [X 1] =2924 : Var(X 1) =383576 : (d)La legge di (X 0; X 2) e data da X0n X 2012 01 =165 =481 =1211 =61 =185 =1821 =81 =161 =16La legge di ( X 1; X 3) e data da X1n X 3012 01 =165 =481 =1217 =727 =21635 =216211 =4811 =9611 =96(e) 1312 1 fX n=0 g+119 1 fX n=1 g+34 1 fX n=2 g; n = 0;1; : : : 7 Esercizio 3. (a) P=0 @23 14 112 012 12 0 0 11 A (b)P2 =0 @49 724 1972 014 34 0 0 11 A (c) P(X 2= k) =8 > > > > > < > > > > > :49 ; k = 2000; 724 ; k = 1000; 1972 ; k = 0:E [X 2] '1180:56:Var(X 2) '675 733: Esercizio 4.No. Esercizio 5.(a)X 0 H (6;3;3). (b)S. Matrice di transizione: P=0 B B @0 1 0 0 1=9 4=9 4=9 0 0 4=9 4=9 1=9 0 0 1 01 C C A (c)245 . Esercizio 6.(a)1;2;5 sono stati ricorrenti (in particolare 5 e assorbente); 3;4 transitori. Tutti gli stati sono aperiodici. Le classi chiuse sonoE ;f1;2g;f5g;f1;2;5g. (b)23 . Esercizio 7.(a) P=0 B B B B @1 0 0 0 0 1=3 1=3 1=3 0 0 0 1=3 1=3 1=3 0 0 0 0 1=2 1=2 0 0 0 1=2 1=21 C C C C A: (b)0;3;4 sono stati ricorrenti (in particolare 0 e assorbente); 1;2 transitori. Tutti gli stati sono aperiodici. Le classi chiuse sonoE ;f0g;f3;4g;f0;3;4g. (c)Probabilita di ingresso nel regime ottimale:13 . Probabilita di termine del funzionamento:23 . 8 Esercizio 8. (a)S. (b)P(X k= 0 jX 0= 0) = 0 per k= 1;2;3 eP(X 4= 0 jX 0= 0) =13 . (c)= (18 ;516 ;38 ;316 ). Per tempi lunghi, la frazione di tempo trascorsa nello stato 1 e approssimativa- mente pari a 0:125. (d)8. Esercizio 9.(a)p=14 ; q =12 . (b)1;2;3 sono stati ricorrenti; lo stato 4 e transitorio. Tutti gli stati sono aperiodici. Le classi chiuse sonoE ;f1;2;3g. (c)Casella 4, dunqueX 0  f4g, ossia v= (0;0;0;1). (d)43 . (e)P(X 1= j; X 2= k) =14 p j k, con j; k= 1;2;3;4. (f )= (47 ;17 ;27 ; 0). Esercizio 10.(a)S. (b)0:49. (c)La piazzola A. Esercizio 11.(b) P=0 @1 0 0 p1pq q 0 0 11 A: (c)0 e 2 sono stati assorbenti (dunque ricorrenti); 1 e transitorio. Tutti gli stati sono aperiodici. Leclassi chiuse sonoE ;f0g;f2g;f0;2g. (d)qp +qh 1(1pq)ni . (f )= (;0;1) per ogni2[0;1]. S. Esercizio 12.(c)15 . (d)5. 9 Esercizio 13. (a)La catena e irriducibile, dunque tutti gli stati sono ricorrenti, e aperiodica. (b)12 . (c)= (12 ;14 ;14 ). (d)X 0  f2g, ossia v= (0;1;0). (e)4.(f ) pT( k+ 2) =P(T=k+ 2) =8 < :12  12  k1 ; k2N; 0;altrimenti, ossiaT=Y+ 2, conYG(12 ). (g)X nq.c. !74 , dunque anche in probabilita e in legge. Esercizio 14.(a)Spazio di statoE=f1;2;3;4ge matrice di transizione (supponendo il dado non truccato) P=0 B B @0 1 0 0 1=2 0 1=2 0 1=10 0 7=10 1=5 1=20 0 0 19=201 C C A: La catena e irriducibile. (b)F 0  f1g, ossia v= (1;0;0;0). (c)P(F n= 4) = 0 per n= 0;1;2 eP(F 3= 4) =110 . (d)La legge diF 3e descritta dal vettore (120 ;12 ;720 ;110 ). E[F 3] =52 , Var( F 3) =1120 . (e)= (331 ;331 ;531 ;2031 ). (f )Forza media al primo incontro: 1. Forza media al quarto incontro:52 . Forza media dopo molti incontri:10431 . Esercizio 15.(b) P=0 @0 1 =2 1=2 1=3 1=3 1=3 1 0 01 A: (c)La catena e irriducibile, dunque tutti gli stati sono ricorrenti, e aperiodica. Ammette l'unicadistribuzione invariante= (25 ;310 ;310 ). (d)518 . (e)6,50e. 10 Esercizio 16. (b)E=f0;1;2g,X 0  f1g, ossia v= (0;1;0), P=0 @1 0 0 1=4 1=2 1=4 0 0 11 A: (c)0 e 2 sono stati assorbenti (dunque ricorrenti=; 1 e transitorio. Tutti gli stati sono aperiodici. Leclassi chiuse sonoE ;f0g;f2g;f0;2g. (d)18 . (e)116 . (g)= (p;0;1p), conp2[0;1]. Esercizio 17.(b)S. S.(c)= 23 ;16 ;16
. (d)Inattiva. 0,20e. (e)16 . (f )12 . 11