Mathematical Engineering - Probabilità

Exercise 03

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Probabilit  a 2019/2020- Esercizi 3 Probabilita condizionale e indipendenza. Esercizio 1.Una roulette sempli cata e formata da 12 numeri che sono "rosso" (R) e "nero" (N) in base allo schema seguente: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 R R N N R N N R N N R R SianoA= esce un numero pari, B= esce un numero rosso, C= esce un numero3, D= esce un numero6, E= esce un numero8, F= esce un numero dispari3. Calcolare le seguenti probabilita condizionali:(a)P(AjC),P(CjA),P(BjC),P(AjF),P(DjF),P(AjB),P(BjA). Stabilire quindi se: (b)gli eventiA,BeDsono a 2 a 2 indipendenti; (c)A; B; Dcostituiscono una famiglia di eventi indipendenti; (d)A; B; Ecostituiscono una famiglia di eventi indipendenti; (e)A; C; Ecostituiscono una famiglia di eventi indipendenti; (f )Fe indipendente daAe daD. Esercizio 2.Si consideri il lancio di un dado, ripetuto due volte. (a)Si considerino i seguenti eventi:A= numero dispari sul primo lancio, B= numero dispari sul secondo lancio, C= la somma dei risultati dei due lanci e dispari. Gli eventiA,BeCsono indipendenti? (b)Si considerino ora gli eventi:E= il risultato del secondo lancio e 1, 2 o 5, F= il risultato del secondo lancio e 4, 5 o 6, G= la somma dei risultati dei due lanci e 9. Gli eventiE,FeGsono indipendenti? 1 Esercizio 3. I componenti prodotti da una ditta possono avere due tipi di difetti con percentuali del 3% e del 7% rispettivamente e in modo indipendente l'uno dall'altro. Qual e la probabilita che un componente (a)presenti entrambi i difetti? (b)sia difettoso?(c)presenti il primo difetto, sapendo che e difettoso? (d)presenti uno solo dei difetti, sapendo che e difettoso? Esercizio 4.Si consideri una popolazione in cui una persona su 100 abbia una certa malattia. Un test e disponibile per diagnosticare tale malattia. Si supponga che il test non sia perfetto, in quanto essorisulta positivo (ovvero indica la presenza della malattia) nel 5% dei casi quando e eettuato su persone sane, mentre risulta negativo (indicando l'assenza della malattia) nel 2% dei casi quando e eettuato su persone malate. Si calcolino le probabilita che (a)una persona sia malata se il test risulta positivo; (b)una persona sia sana se il test risulta negativo. Esercizio 5.Si consideri un mazzo di carte 32 carte da Poker, identi cate dal seme (cuori~, quadri}, ori|, picche) e dal tipo (un numero da 7 a 10 oppure J, Q, K, A). Se sapete di avere in mano l'asso di cuori, qual e la probabilita di avere una scala reale massima, ovvero 10, J, Q, K, A dello stesso seme? Esercizio 6(Paradosso delle tre carte).Un'urna contiene tre carte: una di esse ha entrambi i lati neri, una entrambi i lati bianchi, l'ultima ha un lato nero e uno bianco. Una carta viene estratta e se ne guarda uno solo dei lati: e nero. Qual e la probabilita che il secondo lato sia nero? Esercizio 7.Nel Gioco del Lotto ad ogni estrazione settimanale 5 numeri vengono estratti simul- taneamente da un'urna che contiene 90 palline numerate da 1 a 90. Si calcolino la probabilita di estrarre: (a)il 15, (b)il 15 sapendo che non e uscito nelle ultime 41 estrazioni,(c)almeno un 15 su 42 estrazioni. Si considerino ora le prime 42 estrazioni.(d)Se il 15 e estratto una volta, con quale probabilita e uscito alla prima? (e)Se il 15 e estratto due volte, con quale probabilita e uscito alla prima e alla seconda? Esercizio 8(Paradosso di Monty Hall).In un gioco televisivo viene messo in palio 1 milione di euro. Per vincerlo il concorrente deve indovinare quale fra tre pacchi e quello che contiene l'assegno. Il concorrente sceglie a caso un pacco. (a)Quanto vale la probabilita che il pacco scelto contenga il premio? A questo punto sul banco son rimasti due pacchi ed il conduttore, che ne conosce il contenuto, ne apre uno vuoto, orendo al concorrente la possibilita di cambiare il proprio pacco con quello rimanente. Calcolare la probabilita di vincere usando una delle seguenti strategie: (b)conservando il pacco scelto inizialmente, 2 (c)cambiando pacco, (d)giocando a testa o croce fra le due strategie. Da assidui spettatori sapete che, quando i due pacchi rimasti sul banco sono entrambi vuoti, quello di destra viene aperto con frequenzap. (e)Quanto vale la probabilita che il pacco scelto inizialmente contenga il premio, sapendo che ilconduttore ha aperto il pacco di destra? Per la variante domenicale del gioco vengono cambiate le regole: il conduttore non sa quale pacco contenga l'assegno e, dopo la scelta del concorrente, apre a caso uno dei due pacchi rimanenti. Se il conduttore trova l'assegno, questo viene devoluto in bene cenza, se non lo trova, il gioco procede orendo al concorrente di scegliere nuovamente un pacco fra i due rimanenti. (f )Quanto vale la probabilita che il pacco scelto inizialmente contenga il premio, sapendo che ilconduttore ha aperto il pacco rimanente di destra e che questo si e rivelato vuoto? Esercizio 9.Un dado non truccato viene lanciato piu volte. (a)Quanti lanci devono essere fatti per avere una probabilita maggiore di12 di ottenere almeno un 6? (b)Calcolare la probabilta che esca sempre 6.(c)Calcolare la probabilta che esca sempre 6 dal decimo lancio in poi. (d)Calcolare la probabilta che escano in niti 6.(e)Gli eventi \in niti 6" e \sempre 6" sono compatibili? Sono indipendenti?(f )Gli eventi \in niti 6" e \sempre 5" sono compatibili? Sono indipendenti? Esercizio 10.Consideriamo in nite prove di Bernoulli indipendenti con probabilita di successo costante 0< p