Mathematical Engineering - Probabilità

Exercise 08

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Probabilit  a 2020/2021 — Esercizi 8 Funzioni caratteristiche. Vettori casuali Gaussiani. Esercizio 1.Sia' Xla funzione caratteristica di una variabile aleatoria reale X, quindiX' X. (a)Si mostri cheY= -X' X(per ogni u2R,' X( u)  e il complesso coniugato di ' X( u)). Si mostri anche che' X( u) =' X(- u). (b)Si mostri che, se le variabili aleatorieXeWsono i.i.d. con funzione caratteristica', allora X-W j'j2 . Esercizio 2.Datip2[0;1]edn2N, indicata con' Xla funzione caratteristica di una variabile aleatoriaX, si mostri che: (a)XB(p)()' X( u) =pei u +1-p; (b)XB(n; p)()' X( u) = pei u +1-p
n . Utilizzare i risultati ottenuti per mostrare che:(c)X 1; : : : ; X ni.i.d. B(p)=)X 1+


+X n B(n; p); (d)XB(n; p)indipendente daYB(m; p)=)X+YB(n+m; p). Esercizio 3.Data una variabile aleatoria realeX, si mostri che XG(p); p2(0;1)()' X( u) =p ei u1 -ei u (1-p): Esercizio 4.Data una variabile aleatoria realeX, si mostri che (a)XU([-a; a])()' X( u) =sin (au)au ; (b)XU([a; b])()' X( u) =ei a +b2 usin b-a2 u
b -a2 u; (c)XE()()' X( u) = -iu; (d)Xtale che-XE()()' X( u) = +iu. Si calcolino valore atteso e varianza di queste variabili aleatorie a partire dalle loro funzioni caratte­ ristiche. Esercizio 5.Sia(X; Y)un vettore aleatorio uniformemente distribuito sul rettangoloR=f0x 2;0y1g. (a)Si scriva la densit a continua di (X; Y), diXe diY. Le variabili aleatorieXeYsono indipendenti? (b)Si calcolino valore atteso e matrice varianza di(X; Y). (c)Si esprima la funzione caratteristica di(X; Y)in termini delle funzioni caratteristiche diXe di Y. Si trovi quindi la funzione caratteristica di(X; Y). 1 Siano ora Z=2X-Y,W=Y-2 eJ= -X. (d)Il vettore aleatorio(Z; W; J)ammette densit  a continua? (e)Si calcolino valore atteso e matrice varianza di(Z; W; J). (f)Si esprima la funzione caratteristica di(Z; W; J)in termini delle funzioni caratteristiche diXe diY. Si trovi quindi la funzione caratteristica di(Z; W; J). (g)Si esprimano le funzioni caratteristiche di(Z; W)e di(W; J)in termini della funzione caratte­ ristica di(Z; W; J). Si trovino quindi le funzioni caratteristiche di(Z; W)e di(W; J). Esercizio 6.SianoX 1; : : : ; X nvariabili aleatorie indipendenti, con X k P( k) ; k=1; : : : ; n. (a)Mostrare cheX 1+


+X n P( 1+


+ n) . (b)Si supponga ora cheX 1; X 2; X 3i.i.d. P(). CalcolareP(X 1+ X 2+ X 3 3jX 1 1). Esercizio 7.DateX 1; : : : ; X nvariabili aleatorie reali i.i.d., siaX n=1n P n k=1X kla loro media campionaria. Si mostri che:'X n( u) = 'X1( u=n)
n : Esercizio 8.Per ogni >0 e >0, la funzione caratteristica di una variabile aleatoriaX(; )  e data da 'X( u) =  -iu  : Mostrare che:(a)X(; )indipendente daY( ; )=)X+Y(+ ; ); (b)X 1; : : : ; X ni.i.d. E()=)X 1+


+X n (n; ); (c)ZN(0;1)=)Z2 (12 ;12 ) = 2 (1), ove2 (1)denota la legge chi­quadrato a 1 grado di libert  a. (d)Q=Z2 1+


+Z2 n, con Z 1; : : : ; Z ni.i.d. N(0;1)=)Q(n2 ;12 ) = 2 (n), ove2 (n)denota la legge chi­quadrato angradi di libert  a. Esercizio 9.SianoX(; )eY( ; )indipendenti, con >0, >0 e >0. (a)Si considerino le variabili aleatorie T=X+Y; U=XX +Y: Si mostri che il vettore aleatorio(T; U)ammette densit  a continua e la si calcoli. (b)Si provi l'indipendenza delle due variabili aleatorieTeU. (c)Si provi cheT(+ ; )e cheUBeta(; ), ossiaUha distribuzionebetadi parametri e , la cui densit  a continua  e data da: fU( u) = (+ ) ()( )u  -1 (1-u) -1 1(0;1)( u): 2 (d*)Sia (X n) n2Nuna successione di variabili aleatorie, con X 1; X 2; : : :i.i.d. E(). Posto Sn= X 1+


+X n; si provi che per ogni coppia di interi(k; n), con 1kn, la variabile aleatoriaS kS n e indipendente daS n. Sfruttando quest'ultimo risultato si calcoli il valore atteso diS kS n. Esercizio 10.SianoXeYvariabili aleatorie congiuntamente gaussiane. (a*)Si descriva l'immagineSdel vettore aleatorio(X; Y)al variare di X,  Y,  X,  Ye Cov (X; Y). (b)Si mostri che:(X; Y)ammette densit  a continua f (X;Y)()  X> 0, Y> 0 ej X;Yj Y). Esercizio 12.DateXeYindipendenti di leggeN(0;1), si trovi la legge congiunta diU=X+Ye V=X-Y. Le variabili aleatorieUeVsono indipendenti? Esercizio 13.SianoXedYdue variabili aleatorie indipendenti, tali cheXN(0;1)edYN(0;4). 1.Determinare la legge diZ=X+Y. 2.Determinare la matrice varianza del vettore(X; Z). 3.Determinare la legge congiunta diXeZ. Ammette densit  a continua? Se s  i, quale? 4.Determinare la funzione caratteristica del vettore(X; Z). 5.SiaWN(2;1), indipendente dal vettore(X; Z). Qual  e la legge di (X; Z; W)? 3 Esercizio 14. DatiXN(0;1)ea >0, si consideriY= X;jXj< a; -X;jXja: (a)Si trovi la legge diY. (b)Si stabilisca se i vettori(X; X)e(X; Y)sono gaussiani. (c)Si calcoliP(X > Y). (d)Si trovi il coeciente di correlazione X;Y. Esercizio 15.SiaX=0 @X 1 X2 X31 Aun vettore gaussianoN(; C), dove: =0 @0 0 11 A; C=0 @1 1 0 1 2 0 0 0 11 A: (a)Il vettore aleatorio(X 1; X 2) e la variabile aleatoriaX 3sono indipendenti? (b)La variabile aleatoriaX 1e il vettore aleatorio (X 2; X 3) sono indipendenti? (c)Determinare, al variare di2R, la legge del vettore(U; V)denito come segue: U V = X1 X2+ X 3 (d)Quanto deve valereanch ´ e P(U+V >3)>12 ? Esercizio 16.SianoXeYdue variabili aleatorie congiuntamente gaussiane con medie Xe  Y, varianze2 Xe 2 Y, coeciente di correlazione  X;Y. Detta W=X-Y, mostrare cheU=jW-E[W]j  e una variabile aleatoria continua e calcolarne la densit a. Esercizio 17.Sia(X; Y)un vettore aleatorio con funzione caratteristica '(X;Y)( u; v) =exp i(u+2v) -12 ( 3u2 +10uv+9v2 ) : (a)Riconoscere la legge di(X; Y)e scrivere il vettore delle medie e la matrice varianza. (b)SianoU=XeV=X-Y, con2R. Determinare la legge del vettore aleatorio(U; V). (c)Trovare l'unico valore positivo ditale per cui le variabili aleatorieUeVsono indipendenti. Esercizio 18.Si consideri il vettore aleatorio X Y N 0 1 ; 21 1 1 . (a)Determinare i valori ammissibili del parametro2R. (b)Riconoscere le distribuzioni diX e di Y . (c)Determinare il valore del parametro2Rtale cheE[(X - Y )2 ] =2. (d)Si consideri ora il vettore X Y , condeterminato al punto (c). CalcolareP(maxfX ; Y g =Y ) : 4 Esercizio 19. SianoXeZdue variabili aleatorie indipendenti tali cheXN(0;1)eZabbia legge: P(Z=1) =12 e P(Z= -1) =12 . Si ponga Y=ZX. (a)Che legge haY? (b)Calcolare Cov(X; Y). (c)Mostrare cheX+Ynon  e una variabile aleatoria gaussiana. (d)(X; Y)  e un vettore gaussiano? (e)XeYsono indipendenti? Esercizio 20.Si provi che seX 1; : : : ; X nsono variabili aleatorie i.i.d. N(; 2 ), con2 >0, allora n X k=1( X k- )2 2 2 (n) = n2 ; 12  : Esercizio 21.SiaX= (X 1; : : : ; X n) N(; C)un vettore aleatorio gaussiano con matrice varianzaC invertibile. Si mostri che la variabile aleatoria(X-)T C- 1 (X-)ha legge2 (n). Esercizio 22.SianoX 1; : : : ; X nvariabili aleatorie reali i.i.d. N(; 2 ). Si considerinoX n=1n n X k=1X k; Y k= X k-X n; S2 n=1n -1n X k=1 Xk-X n
2 : (a)Si calcoli' (X n;Y 1;:::;Y n). (b)Se ne deduca l'indipendenza diX ne S2 n. (c)Si mostri cheZ=X n-  p n  N(0;1). (d)Sapendo cheQ=n -1 2 S2 n 2 (n-1), si calcoli la funzione caratteristica' (X n;S2 n). (e)Si calcolino le funzioni caratteristiche' (X 2 n;S 2 n)e 'X 2 n+ S2 nnel caso =0. (f*)Si trovi la densit a continua della variabile aleatoria T=X n- q S 2 nn . 5 Probabilit  a 2018/2019 ­ Risultati 8 Esercizio 4.(d)E[X] = -1 ; Var(X) =1 2 : Esercizio 5.(a)Le densit a di (X; Y); XeYsono date da f(X;Y)( x; y) =12 1 R( x; y)f X( x) =12 1 [0;2]( x)f Y( y) =1 [0;1]( y) S i, XeYsono indipendenti. (b)E[(X; Y)] = (1;1=2)e Var[(X; Y)] = 1=3 0 0 1=12 . (c)' (X;Y)( u; v) =' X( u)' Y( v) =ei (u+v2 )sin uu sin (v2 )v 2 . (d)No. (e)E[(Z; W; J)] = (3=2;-3=2;-1)e Var[(Z; W; J)] =0 @17 =12-1=12-2=3 -1=12 1=12 0 -2=3 0 1=31 A. (f)' (Z;W;J)( u 1; u 2; u 3) = e- 2iu 2 'X( 2u 1- u 3) ' Y( u 2- u 1) = ei2 ( 3u 1- 3u 2- 2u 3)sin (2u 1- u 3)2 u 1- u 3sin (u 2- u 12 )u 2- u 12 . (g)' (Z;W)( u 1; u 2) = ' (Z;W;J)( u 1; u 2; 0) =e32 i (u 1- u 2)sin (2u 1)2 u 1sin (u 2- u 12 )u 2- u 12 , '(W;J)( u 2; u 3) = ' (Z;W;J)( 0; u 2; u 3) = e- i2 ( 3u 2+ 2u 3)sin (u 3)u 3sin (u 22 )u 22 . Esercizio 6.(b)P(X 1+ X 2+ X 3 3jX 1 1) =1 -e-  -e- 3 -52 2 e- 31 -e- . Esercizio 9.(a)f (T;U)( t; u) =  + ()( )t  + -1 u -1 (1-u) -1 e- t 1(0;+1)(0;1)( t; u). (d)E SkS n =kn . 6 Esercizio 11. (a)XN(0;1=6),YN(0;2=27). (b)= 0 0 ,C= 1=6 1=18 1=18 2=27 ef (X;Y)( x; y) =3p3  e-( 4x2 -6xy+9y2 ) . (c)ZN(0;7=6). (d)12 . Esercizio 12. U V N 0 0 ; 2 0 0 2 . S i, infatti sono congiuntamente gaussiane e incorrelate. Esercizio 13.1.ZN(0;5). 2. 1 1 1 5 . 3. X Z N 0 0 ; 1 1 1 5 . S i, infatti det 1 1 1 5 6 =0. La densit  a  e data da f (X;Z)( x; y) = 14 e- 18 ( 5x2 -2xy+y2 ) . 4.' (X;Z)( u; v) =e- 12 ( u2 +2uv+5v2 ) . 5.Il vettore(X; Z; W)  e gaussiano perch ´ e formato da due vettori gaussiani indipendenti. 0 @X Z W1 AN0 @0 @0 021 A;0 @1 1 0 1 5 0 0 0 11 A1 A. Esercizio 14.(a)YN(0;1). (b)(X; X)  e gaussiano. (X; Y)non  e gaussiano. (c)P(X > Y) =1-(a). (d) X;Y= Cov(X; Y) =4(a) -3-4p 2 a e- a 22 . 7 Esercizio 15. (a)S . (b)No. (c) U V N 0  ; 1 1 1 2+2 . (d) >3. Esercizio 16.f U( x) =p2 q  (2 X- 2 X;Y X Y+ 2 Y)e - 12 x 2 2 X- 2 X;Y X Y+ 2 Y1 [0;1)( x). Esercizio 17.(a) X Y N 1 2 ; 3 5 5 9 . (b) U V N  1-2 ; 32 3-52 3-52 92 -10+3 . (c)=3=5. Esercizio 18.(a)1=2. (b)X  N(0;2)eY  N(1;1). (c)=1. (d)P(X  Y ) = (1)'0:8413. Esercizio 19.(a)YN(0;1). (b)Cov(X; Y) =E[XY] =0. (d)No.(e)No. Esercizio 22.(a)' (X n;Y 1;:::;Y n)( u; v 1; : : : ; v n) = eiu -12  2n u2 e- 12 2 P n k=1( v k-v n)2 , dovev n=1n P n k=1v k. (d)' (X n;S2 n)( u; v) =eiu -12  2n u2 11 -2i 2n -1v n -12 . (e)' (X 2 n;S2 n)( u; v) = 11 -2i 2n u! 12  11 -2i 2n -1v n -12 e'X 2 n+ S2 n( u) = 11 -2i 2n u! 12  11 -2i 2n -1u n -12 . (f*)f T( x) = (n2 ) (n -12 )1p  (n-1)1 1+x 2n -1
n2 ; x 2R. QuindiTt(n-1), dovet(n-1)  e la distribuzionetdi Student conn-1 gradi di libert  a. 8