Mathematical Engineering - Probabilità

Exercise 09

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Probabilit  a 2020/2021 — Esercizi 9 Leggi condizionali. Esercizio 1.La legge congiunta delle variabili aleatorie discreteXeY  e parzialmente descritta da: XnY012p X20 :140 :10 :6p Y0 :30 :41 (a)Completare la tabella e dire seXeYsono indipendenti. (b)Determinare la legge condizionale diYdatoX=2. CalcolareE[YjX=2],E[Y2 jX=2]e Var(YjX=2). (c)DeterminareE[YjX]. CalcolareE[E[YjX]],E[E[YjX]2 ]e Var(E[YjX]). (d)DeterminareE[Y2 jX]. (e)Determinare Var(YjX). CalcolareE[Var(YjX)],E[Var(YjX)2 ]e Var(Var(YjX)). Esercizio 2.Un perito elettrotecnico deve costruire un sistema costituito da tre componenti in serie. Egli pesca i tre componenti da una scatola in cui vi sono tre componenti nuove, due usate ma fun­ zionanti e due difettose. SianoXeYrispettivamente il numero di componenti nuove e di componenti usate ma funzionanti tra quelle pescate dalla scatola. In un precedente esercizio e stata calcolata la densit a discreta conginuta del vettore (X; Y)e la densit  a discreta della variabile aleatoria X+Y. (a)Scrivere la densit a discreta condizionale di XdatoY=0. CalcolareE[XjY=0]. (b)DeterminareE[XjY]. (c)Quali sono la legge e l'attesa condizionali del numero di componenti nuove pescate, sapendoche il numero di componenti funzionanti pescati e pari a 1? (d)Determinare l'attesa condizionale del numero di componenti nuove pescate, dato il numero dicomponenti funzionanti pescati. Esercizio 3.SianoX; Yi.i.d. B(p); p2(0;1). Deniamo la variabile aleatoriaZ=1 fX+Y=0g, indicatrice dell'eventofX+Y=0g. (a)DeterminareE[XjZ]eE[YjZ]. (b)E[XjZ]eE[YjZ]sono indipendenti? Esercizio 4.SianoX 1; : : : ; X ni.i.d. B(p); p2(0;1). SiaZ=P n k=1X k. (a)CalcolareE[X 1j Z]eE[X 2j Z]. Sia oraY=X 1+ X 2- X 1X 2. (b)Determinare la legge diYe darne un'interpretazione probabilistica. (c)CalcolareE[YjZ]. 1 Esercizio 5. SianoX 1 B(n 1; p )eX 2 B(n 2; p )due variabili aleatorie binomiali indipendenti, con n1; n 22 Nep2(0;1). (a)Calcolare la legge condizionale e il valore atteso condizionale diX 1dato X 1+ X 2= n, dove 0nn 1+ n 2. (b)Calcolare il valore atteso condizionaleE[X 1j X 1+ X 2] e la varianza condizionale Var(X 1j X 1+ X 2) . (c)Calcolare i valori attesi condizionaliE[X 2j X 1+ X 2] eE[(X 1; X 2) jX 1+ X 2] . (d)Calcolare i valori attesi condizionaliE[X 1+ X 2j X 1] eE[(X 1; X 2) jX 1] . Esercizio 6.SianoT 1e T 2variabili aleatorie geometriche indipendenti di parametri p 1> 0 ep 2> 0, con cui a tempo discreto si descrive la durata aleatoria di due apparecchiature. Determinare la legge condizionale diT=minfT 1; T 2g datoT 1= k, conk2N. Esercizio 7.SianoX 1; : : : ; X n, con n2Nssato, variabili aleatorie indipendenti e siaZ=P n k=1X k. Supponiamo che, per ognik=1; : : : ; n,X k P( k) , con k> 0. (a)Trovare la legge condizionale diX 1dato Z=m, conm=0;1;2: : : (b)CalcolareE[X 1j Z]e Var E[X 1j Z]
. (c)Calcolare Var(X 1j Z)eE Var(X 1j Z) . Supponiamo ora che k= per ognik, ossiaX 1; : : : ; X ni.i.d. P(). DeniamoY=1 fX 1= 0g. (d)Trovare la legge condizionale diYdatoZ=m, conm=0;1;2; : : : (e)CalcolareE[YjZ]. Esercizio 8.Supponiamo che il numero di rareddori contratti da una persona in un anno solare sia una variabile aleatoria di Poisson di media 3. Un nuovo tipo di farmaco, quando risulta ecace sulla persona, abbassa la media di tale variabile aleatoria a 2. Sfortunatamente il farmaco e ecace solo con l'80% della popolazione. Si calcolino legge e media del numero di rareddori contratti da chi assume il farmaco. Esercizio 9.Un'urnaAcontienenpalline tutte rosse, conn2. Un'urnaBcontienenpalline di cuirrosse(1r < n)e le rimanentin-rnere. Si sceglie a caso una delle due urne e da essa si eettua una successione di estrazioni con reimmissione. Determinare la legge del numero di estrazioni necessarie per trovare la prima pallina rossa. Esercizio 10.Quando il Luna Park itinerante di Samson si ferma a Milfay, Ben acquistanfreccette per colpire un bersaglio. Per ogni freccetta andata a segno, Ben ricever a un petardo. Se p  e la probabilit a che Ben colpisca il bersaglio con una freccetta e q  e la probabilit  a che un petardo esploda, qual e il numero medio di petardi esplosi? 2 Esercizio 11. Una ditta che produce sistemi infusionali per farmaci ha due linee produttive. Se il sistema viene prodotto dalla prima linea ha una probabilit a p 1di essere difettoso, mentre se viene prodotto dalla seconda linea ha una probabilit a p 2> p 1di essere difettoso. All'inizio della giornata viene scelta a caso la linea di produzione da attivare e la prima linea viene scelta con probabilit a q. SiaTil primo pezzo difettoso prodotto nella giornata. (a)Calcolare la media diT. (b)Calcolare la distribuzione diT. Esercizio 12.Durante la stesura di un libro, una versione preliminare dell'opera viene riletta dal­ l'autore. Sapendo che il numero di errori in una pagina e una variabile aleatoria con distribuzione di Poisson di parametro=3, e che ogni errore viene scoperto (in una lettura) con probabilit  a p=0:7, calcolare: (a)il numero atteso di errori scoperti nella prima pagina, dato il numero di errori presenti; (b)il numero atteso di errori scoperti nella prima pagina;(c)la legge del numero di errori scoperti nella prima pagina; (d)la probabilit a che non venga scoperto alcun errore nella prima pagina sapendo che ce n'  e al pi  u uno. Esercizio 13.SianoN; X 1; X 2; : : : variabili aleatorie indipendenti. Supponiamo cheNabbia legge di Poisson di parametro >0 e che ciascuna delleX kabbia legge di Bernoulli di parametro p2(0;1). Si consideri la variabile aleatoriaSdenita come segue S= X1+


+X N; seN6 =0 0;seN=0: (a)Determinare la legge condizionale diSdatoN=n, per ognin=0;1;2; : : : (b)CalcolareE[SjN=n]e Var(SjN=n), per ognin=0;1;2; : : : (c)CalcolareE[SjN]e Var(SjN). (d)CalcolareE[S]e Var(S). Esercizio 14.Sia(X; Y)un vettore aleatorio continuo con distribuzione uniforme sull'insiemeS, dove:S= (x; y)2R2 :x0; y0; x2 +y2 9 : (a)Scrivere la densit a continua di (X; Y). Le variabili aleatorieXeYsono indipendenti? (b)Scrivere la densit a continua di X. (c)Scrivere la densit a condizionale di YdatoX=x. Qual  e la legge condizionale di YdatoX=x? (d)CalcolareE[YjX=x],E[YjX]eE[(X; Y)jX]. Esercizio 15.Si calcoliE[YjX], doveXeYsono variabili aleatorie con densit  a congiunta continua f(X;Y)( x; y) = 45 ( x+3y)e- x-2y ; x; y >0; 0;altrimenti: 3 Esercizio 16. Sia(X; Y)un vettore aleatorio continuo con distribuzione uniforme sull'insiemeT, dove:T= (x; y)2R2 :0< x < y 0, Y> 0 ej X;Yj 0, la legge condizionale diYdatoX=xammetta densit  a continua fYjX( yjx) =1p 2 px e- 12 xy2 ; y2R: (a)Si trovi la legge di(X; Y). Sia denita la funzioneM: (0;+1)!Rcome segue M(x) =E[YjX=x]; x >0: (b*)Si mostri che la funzioneM  e ben denita e misurabile. (c)Si determiniM(x)per ognix >0. (d)Si mostri cheM(X)  e una variabile aleatoria e se ne dia il signicato probabilistico. (e)Si mostri che esisteE[M(X)]e se ne calcoli il valore. (f)Si mostri che tuttavia non esisteE[Y]. Si confronti questo risultato con quanto ottenuto nel punto precedente. Esercizio 26.Un sacchetto viene riempito con 3 monete: 1 d' argento e 2 color oro. Le monete color oro non sono per´ o necessariamente di oro puro: ciascuna contiene una quantit ´ a di oro G kcasuale con distribuzione uniforme fra12 e 1, e possiamo supporre indipendenti G 1e G 2. Sia dunque Wla quantit´ a di oro totale contenuta nel sacchetto. a.Determinare il valore atteso diW. b.Determinare la distribuzione diW: si mostri che ´ e continua, se ne determini la densit ´ a f W( w) e se ne tracci un graco qualitativo. Ruy pesca due monete dal sacchetto, senza re­immissione. SiaXil numero di monete color oro pescate da Ruy (le variabiliX;G 1, G 2sono indipendenti). c.Determinare la distribuzione diXtrovando esplicitamente i possibili valorixdiXe le corri­ spondenti probabilit´ a. Sia inneYla quantit ´ a di oro totale pescata da Ruy. d.Determinare la distribuzione diYdatoX=x: si mostri che ´ e continua, se ne determini la densit´ a f YjX( yjx). e.Determinare la distribuzione diY: si mostri che ´ e continua, se ne determini la densit ´ a f Y( y). f.Determinare il valore atteso diY. Esercizio 27(Paradosso di Borel)*.DateX; Yi.i.d. E(1), si consideriZ=Y -1X . (a)Si confronti la legge condizionale diXdatoY=1 con la legge condizionale diXdatoZ=0. (b)Per" >0, si disegnino i sottoinsiemi del primo quadrante diR2 B1= (x; y)2(0;+1)2 :1y < > : n1 k
n2 n-k
n1+ n 2 n
;maxf0; n-n 2g kminfn; n 1g 0;altrimenti: La legge condizionale diX 1dato X 1+ X 2= n  e ipergeometricadi parametrin 1+ n 2, n 1, n. E[X 1j X 1+ X 2= n] =n 1n 1+ n 2n . (b)E[X 1j X 1+ X 2] =n 1n 1+ n 2( X 1+ X 2) e Var(X 1j X 1+ X 2) =n 1n 1+ n 2n 2n 1+ n 2n 1+ n 2- X 1- X 2n 1+ n 2- 1( X 1+ X 2) . (c)E[X 2j X 1+ X 2] =n 2n 1+ n 2( X 1+ X 2) eE[(X 1; X 2) jX 1+ X 2] = n1n 1+ n 2( X 1+ X 2) ;n 2n 1+ n 2( X 1+ X 2) . (d)E[X 1+ X 2j X 1] = X 1+ n 2p eE[(X 1; X 2) jX 1] = ( X 1; n 2p ). Esercizio 6.p TjT 1( `jk) =8 > < > :p 2( 1-p 2)` -1 ; `=1; : : : ; k-1; (1-p 2)k -1 ; `=k; 0; ` > k: Esercizio 7.(a) pX1j Z( `jm) =8 > < > : m ` 1 1+


+ n ` 1- 1 1+


+ n m-` ; `=0; : : : ; m; 0; ` > m: QuindiX 1j Z=mB m; 1 1+


+ n
. (b)E[X 1j Z] = 1 1+


+ nZ e Var E[X 1j Z]
= 2 1 1+


+ n. (c)Var(X 1j Z) = 1 1+


+ n 1- 1 1+


+ n ZeE Var(X 1j Z) = 1 1- 1 1+


+ n . (d)Sen=1, allorap YjX 1( ij0) = 0; i=0; 1; i=1;e p YjX 1( ijm) = 1; i=0; 0; i=1;, per m >0. Sen >1, alloraYjZ=mB 1-1n
m
. (e)Sen=1, alloraE[YjX 1] = Y. Sen >1, alloraE[YjZ] = 1-1n
Z . 8 Esercizio 8. Indicata conYla variabile aleatoria che conta il numero rareddori contratti in un anno solare da una specica persona, si ha pY( k) =0:2 e- 33kk ! +0:8 e- 22kk ! ; k=0;1; : : :E[Y] =2:2: Esercizio 9.Indicata conTla variabile aleatoria che conta il numero di estrazioni necessarie per estrarre la prima pallina rossa, si ha pT( k) =8 > < > :12  1+rn  ; k=1 12 rn  1-rn  k-1 ; k2: Esercizio 10.E[Y] =npq, oveY  e la variabile aleatoria che conta il numero di petardi esplosi. Esercizio 11.(a)E[T] =qp 1+ 1 -qp 2. (b)p T( k) =p 1( 1-p 1)k -1 q+p 2( 1-p 2)k -1 (1-q); k2N. Esercizio 12.Deniamo le variabili aleatorie "X: ``numero di errori presenti in una pagina''=)XP(3). "Y: ``numero di errori scoperti in una pagina''. (a)E[YjX] =0:7X. (b)E[Y] =2:1. (c)YP(2:1). (d)P(Y=0jX1) =0:475. Esercizio 13.(a)SjN=nB(n; p), per ognin=0;1;2; : : : (b)E[SjN=n] =pne Var(SjN=n) =p(1-p)n, per ognin=0;1;2; : : : (c)E[SjN] =pNe Var(SjN) =p(1-p)N. (d)E[S] =pe Var(S) =Var(E[SjN]) +E[Var(SjN)] =p. 9 Esercizio 14. (a)f (X;Y)( x; y) =49 1 S( x; y).XeYnon sono indipendenti. (b)f X( x) =49 p9 -x2 1[0;3]( x). (c)f YjX( yjx) =1p 9 -x21 [0 ;p9 -x2 ]( y), per ognix2[0;3].YjX=xU 0;p9 -x2
, per ogni x2[0;3]. (d)E[YjX=x] =p9 -x22 , per ogni x2[0;3],E[YjX] =p9 -X22 e E[(X; Y)jX] = X;p9 -X22
. Esercizio 15.E[YjX] =X +32 X+3. Esercizio 16.(a)f (X;Y)( x; y) =21 T( x; y).XeYnon sono indipendenti. (b)f X( x) =2(1-x)1 (0;1)( x);E[X] =13 e Var (X) =118 . (c)Per ognix2(0;1), si ha chef YjX( yjx) =11 -x1 (x;1)( y).YjX=xU(x;1), per ognix2(0;1). (d)1. (e)E[YjX] =1 +X2 , E[(X; Y)jX] = X;1 +X2
, Var(YjX) =( 1-X)212 . (f)E[Y] =23 e Var (Y) =118 . Esercizio 17.(a)Per ognix2R,YjX=xN Y+  X;Y Y X( x- X) ; 2 Y( 1-2 X;Y)
. (b)E[YjX] = Y+  X;Y Y X( X- X) . (c)E[YjX]N Y; 2 X;Y2 Y
. (d)Per ognix2R,YjX=xN 34 x;18
. (e)E[YjX] =34 X N 0;124
. Esercizio 18.(a)Per ognix2R,YjX=xN 13 ( 1+5x);23
. (b)E[YjX] =13 ( 1+5X)N 2;253
. Esercizio 19.(a)E X1 X2 X 3 = X3- 4 12 X 3 : (b)E2 40 @X 1 X2 X31 A X 33 5=0 @X 3- 4 12 X 3 X31 A: 10 Esercizio 20. E X1 X2 X 3 = 0 0 . Esercizio 21.(a)f (X;Y)( x; y) =1px 1 (0;1)(0;px)( x; y): (b)f Y( y) =log p-logyp 1 (0;p)( y). (c)E[XjY] =1p p -Ylog p-logY. Esercizio 22.f T( t) = 1:5 e- 1:5t 0:4+2 e- 2t 0:6
1[0;+1)( t). Esercizio 23.E[Y] =0 e Var(Y) =0:2125. Esercizio 24.1.W a= NX 1e W b= 1 fN>0gN X k=1X k=8 > > < > > :0 ; N=0 N X k=1X k; N > 0. 2.E[W a] = E[W b] = 5. 3.Var(W a) = 33 e Var(W b) = 9. Esercizio 25.(a)(X; Y)  e un vettore aleatorio continuo con densit  a f(X;Y)( x; y) =12 e - 12 x (1+y2 ) 1(0;+1)( x): (c)M(x) =0 per ognix >0. (e)E[M(X)] =0. Esercizio 26.a.32 b.f W( w) =411 1 (1 ;32 )( w)(w-1) +411 1 (32 ; 2 )( w)(2-w) c.p x( 1) =23 , p X( 2) =13 d.f YjX( yj1) =f G1( y),f YjX( yj2) =f W( y) e.f Y( y) =23 f G1( y) +13 f W( y) f.1. Esercizio 27*.(a)XjY=1E(1);XjZ=0(2;1). (c)Perx >0 si haP(XxjB 1) !1-e- x eP(XxjB 2) !1-e- x -xe- x per"!0. 11