Mathematical Engineering - Probabilità

Exercise 10

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Probabilit  a 2020/2021 — Esercizi 10 Convergenza di variabili aleatorie. Esercizio 1(Macchina da scrivere).Si rappresenti ogni interon2Ncomen=2k +`, con k=0;1;2; : : :e`=0; : : : ;2k -1. La rappresentazione  e unica. Si consideri quindi come spazio di probabilit a l'intervallo [0;1]con­algebra dei boreliani e misura di Lebesgue, su cui  e denita la successione(X n) n2N, dove: Xn( !) =X 2k +`( !) =1 [`2 k;` +12 k]( !);per ogni!2[0;1]: (a)Disegnare il graco delle primeX ne calcolarne la legge. (b)Calcolare lim infX ne lim sup X ne studiare la convergenza quasi certa della successione. (c)Mostrare cheX n! 0 in Lp per ognip1, in probabilit  a e in legge. (d)Trovare una sottosuccessione diX nconvergente a 0 quasi certamente. Esercizio 2.Si consideri lo spazio di probabilit  a ( ;A;P)con " = (0;1). "A=B (0;1)
, la­algebra di Borel su(0;1). "P= m 0;1, la misura di Lebesgue su (0;1). Per ognin2Nsi considerino le funzioniX n; Y n; Z n: !Rdenite per ogni!2 = (0;1)come segue Xn( !) =1n! ; Y n( !) =1p ! +1n ; Z n( !) =nn +1log 1! : Studiare la convergenza quasi certa della successioni(X n) n2N; (Y n) n2N; (Z n) n2N. Determinare, inol­ tre, la legge delle variabili aleatorie limite. Esercizio 3.Data una successione di variabili aleatorie(X n) n2N, tutte denite sul medesimo spazio di probabilit a e con X n2 L2 ;E[X n] = a n! a2Re Var(X n) = 2 n! 0, si mostri che: (a)E[X2 n] !a2 . (b)X n! ain legge, probabilit  a, L1 e L2 . Esercizio 4.Su uno stesso spazio di probabilit  a sia data una successione di variabili aleatorie (X n) n2N, tutte aventi legge uniforme su [0;1]. Fissato un parametro >0, deniamo Yn=1n 21( 1-X n): (a)Per qualisi haY n! 0 in probabilit  a ? (b)Per qualisi haY n2 L1 ? (c)Per qualisi haY n! 0 in L1 ? 1 Esercizio 5. Data una variabile aleatoriaYB 12
denita su un certo spazio di probabilit a ( ;A;P), si ponga Xn( !) = Y(!);senpari 1-Y(!);sendispari; ! 2 : Si studi la convergenzaX n! Yin p per ognip1, quasi certa, in probabilit  a e in legge. Esercizio 6.Si consideri un parametrop >0 ssato e una successione di variabili aleatorie(X n) n2N, conX n B(n; p)e funzione di ripartizione indicata conF Xn, per ogni n2N. (a*)Fissata una soglias >0, si mostri cheF Xn( s)!0 pern! 1. (b)Si discuta l'esistenza di un eventuale limite in legge della successione(X n) n2N. Esercizio 7(Legge degli eventi rari).Sia(X n) n2Nuna successione di variabili aleatorie, con Xn B(n; p n) e(p n) n2Nuna successione a valori in (0;1). Si supponga che npn!  >0;pern! 1: Si mostri che la successioneX n! Xin legge, oveXP(). Qual  e il signicato probabilistico di tale risultato? Esercizio 8.Sia(X n) n2Nuna successione di variabili aleatorie, ciascuna di legge ipergeometrica. Pi u precisamente X n H(R n+ B n; R n; m ), ovem2N  e un parametro ssato e (R n) n2N; (B n) n2N sono successioni a valori inN. Si supponga che 8 < :R nR n+ B n! p2(0;1) Rn+ B n! +1; pern! 1: Si mostri che la successioneX n! Xin legge, oveXB(m; p). Qual  e il signicato probabilistico di tale risultato? Esercizio 9.Sia data una successione(X n) n2Ndi variabili aleatorie, ciascuna di legge X n P( n) , ove( n) n2N  e una successione a valori in (0;+1). Supponiamo che lim n!1 n= + 1. (a)Si studi la convergenza in legge di(X n-  n) =p n. (b)Si studi la convergenza in legge e in probabilit a di (X n-  n) = n. Esercizio 10.Data una successione di variabili aleatorie(X n) n2N, con X ndi legge geometrica di parametrop n2 (0;1), dove lim n!1p n= p2(0;1], se ne studi il limite in distribuzione. Esercizio 11.Data una successione di variabili aleatorie(X n) n2N, con X n G(=n)e >0, studiare il limite in legge delle successioni (a)X n; (b)X n=pn; (c)X n=n; (d)X n=n2 : 2 Esercizio 12. Sia(X n) n2Nuna successione di variabili aleatorie, con X n N( n; 2 n) . Supponiamo che n! 2Re2 n! 2 0 quandon! 1. Mostrare cheX nL !XN(; 2 ). Esercizio 13.Si consideri una successione di variabili aleatorie(X n) n2N, con X n 2 (n). Studiare la convergenza in distribuzione delle seguenti successioni. (a) Xnn  n2N(b) Xnn 2 n2N(c) ( X n) n2N Esercizio 14.Sia data( n) n2Nuna successione a valori in (0;+1). Studiare la convergenza in legge di una successione(X n) n2Ndi variabili aleatorie, con X n E( n) nei seguenti casi. (a) n! 0;(b) n!  >0;(c) n! +1: Esercizio 15*.Sia data una successione( n) n2Na valori in (0;+1)e sia(X n) n2Nuna successione di variabili aleatorie, conX n ( n;  ). Si supponga che lim n!1 n= + 1. Indicate con ne  nle medie e le deviazioni standard diX n, si studi la convergenza in distribuzione di Y n=X n-  n nper n!+1. Esercizio 16.Si consideri una variabile aleatoriaXcon legge Beta(; ), >0 e >0, ovvero una variabile aleatoria reale continua con densit a continua fX( x) = (+ ) ()( )x  -1 (1-x) -1 1(0;1)( x): 1.Mostrare che:E[X] = + ; E[X2 ] = (+1)( + )(+ +1); Var(X) = ( + )2 (+ +1): 2.Mostrare che, seX 1; X 2; : : : sono variabili aleatorie denite sul medesimo spazio di probabilit  a, conX n Beta(n; n ), allora la successione(X n) n2Nconverge in probabilit  a verso una variabile aleatoria costante. Quale? Esercizio 17.Sul medesimo spazio di probabilit  a siano date le successioni di variabili aleatorie (X n) n2Ne (Y n) n2N, ove X n U [-n; n]
eY n=X nn 2rispettivamente. Studiarne le convergenze (a*)Quasi certa.(b)In Lp , per ognip1. (c)In probabilit a. (d)In legge. Esercizio 18.Data una successione di variabili aleatorie(X n) n2N, tutte denite sul medesimo spazio di probabilit a, un numero reale e una successione( n) n2Na valori in (0;+1), tali che pern! 1 Xn-  nL !ZN(0;1);  n! 0; si mostri cheX n! in probabilit  a. 3 Esercizio 19. SianoX 0; X 1; : : :i.i.d. N(0;1). PoniamoV 0=X 02 e V n=X n+ V n-12 per ogni n2N. (a)Determinare la legge diV nper ogni n=0;1; : : : (b)Dire se esiste una variabile aleatoriaVtale cheV nL !V. Se s  i, qual  e la legge di V? Esercizio 20.SianoX 1; X 2; : : :i.i.d. U([0; ]), tutte denite sul medesimo spazio di probabilit  a, con  >0  e un parametro ssato. Siano, inoltre, T n= minfX 1; :::; X ng ,Y n= n T n, n2N. (a)Per ognin2Ntrovare la funzione di ripartizione diY n. (b)Determinare il limite in legge della successione(Y n) n2N. (c)Mostrare che(T n) n2Nconverge in probabilit  a a una costante. (d)Mostrare che(T n) n2Nconverge quasi certamente e determinarne il limite. Esercizio 21.Si trovinoX; X 1; X 2; : : : ; variabili aleatorie integrabili denite su uno spazio di proba­ bilit a ( ;A;P), tali cheX n! Xin legge, ma tali cheE[X n] 9 E[X]. 4 Probabilit  a 2018/2019 ­ Risultati 10 Esercizio 1(Macchina da scrivere). (a)X n B(1=2k ), conn=2k +`,k=0;1;2; : : :e`=0; : : : ;2k -1. (b)Per ogni!2[0;1], lim infX n( !) =0 e lim supX n( !) =1, quindi limX n( !)non esiste. (d)(X 2k ) k0. Infatti X 2k ( !)!0 per ogni!2(0;1]eX 2k ( 0)!16 =0. QuindiX 2k ! 0 q.c. Esercizio 2."X nq.c. !X, conX=0 q.c., ossiaX 0. "Y nq.c. !Y, conY(!) =1p ! ; ! 2 .YF Y, con F Y( t) =8 < :0 ; t1 1-1t 2; t > 1 "Z nq.c. !Z, conZ(!) =log1! ; ! 2 .ZE(1). Esercizio 4.1.Per ogni >0. 2.0<