Mathematical Engineering - Probabilità

1 - Esercizi su sufficienza_2C_20minimalit_C3_A0_20e completezza

Divided by topic

Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizi ¶ 1 Esercizio 1.SiaX 1; : : : ; X nun campione estratto dalla popolazione avente densita f(x) = e# x 1[# ;+1)( x); # >0 determinare una statisticaTsuciente e minimale per#, mostrare cheTe anche completa. Esercizio 2.SiaX 1; : : : ; X nun campione estratto dalla popolazione avente densita f(x) = 2# xe # x2 1(0;+1)( x); # >0 determinare una statisticaTsuciente e completa per#,Te anche minimale? Mostrare cheS=X non e suciente. Esercizio 3.SiaX 1; : : : ; X nun campione estratto dalla popolazione XBeta(a; b), (a >0; b >0). ¬Seae incognito ebnoto, determinare una statistica suciente e completa pera; ­sebe incognito eanoto, determinare una statistica suciente e completa perb; ®seaebsono entrambi incogniti, determinare una statistica suciente e completa per(a; b). Esercizio 4.SiaX 1; : : : ; X nun campione estratto dalla popolazione XBeta(# ; #), (# >0). Deter- minare una statistica suciente e completa per#. Esercizio 5.SiaX 1; : : : ; X nun campione estratto dalla popolazione XUnif(# ; #+ 1)determinare una statisticaTsuciente e minimale per#, mostrare cheTnon e completa. Esercizio 6.SiaX 1; : : : ; X nun campione estratto dalla popolazione XUnif(# ; #)determinare una statisticaTsuciente e minimale per#. Esercizio 7.SiaX 1; : : : ; X nun campione estratto dalla popolazione XUnif(# ;2#)determinare una statisticaTsuciente e minimale per#, mostrare cheTnon e completa. Esercizio 8.SiaX 1; : : : ; X nun campione i.i.d. proveniente da una distribuzione F #continua con densita nota a meno del parametro#2#R. Date le due statisticheT=T(X)eU=U(X), sappiamo cheTe suciente e cheUe completa. ¬Mostrare che, seT=r(V), allora anche la statisticaV=V(X)e suciente; ­mostrare che, seW=s(U), allora anche la statisticaW=W(X)e completa. Esercizio 9.SiaXuna variabile aleatoria discreta con supportof0;1;2g, stabilire se la famiglia di distribuzioni diXe completa in ciascuno dei due casi seguenti: ¬x i0 1 2 p i# 3#14#0 #14 ; ­x i0 1 2 p i# 2#2 1#2#2 0 #12 : Esercizio 10.Determinare la statistica suciente e completaTper#, avendo osservato un campione di ampiezzanin ciascuno dei due casi seguenti. ¬XGeom(#)(0< # 0 determinare una statisticaTsuciente e minimale per#. Esercizio 13.SiaX 1; : : : ; X nun campione estratto dalla popolazione Xavente densita f(x; #) =12 e j x#j ; #2R determinare una statisticaTsuciente e minimale per#.