Mathematical Engineering - Probabilità

2 - Esecizi su stimatori

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Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1.SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una legge uniforme sull'intervallo [0 ; ], >0. (a) Si determini uno stimatore dicol metodo dei momenti. (b) Lo stimatore trovato e corretto?(c) E suciente? Esercizio 2.SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una legge uniforme sull'intervallo [ a; b]. Si stimino aebcol metodo dei momenti. Esercizio 3.SiaX 1; : : : ; X nun campione di rango ndi variabili aleatorie indipendenti di densita f( x) =x 1 1(0;1)( x);  >0: (a) Calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza^ ndi . (b) Determinare e riconoscere le leggi dilogX ke di P n k=1log X k. (c)^ ne distorto? (d) Calcolare l'errore quadratico medio di^ n. [ 2 (n+ 2)= (n1)(n2)
] Esercizio 4. E noto che mediamente solo il 40% degli individui appartenenti ad una certa specie sopravvive alla prima settimana di vita. Una popolazione di tali individui viene censita ad una settimana dalla apertura delle uova trovandokindividui. Si vuole stimare il numerondi uova schiuse. Qual e lo stimatore di massima verosimiglianzaNdin? Quale stima fornisce sek= 400? Esercizio 5.SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da U [12 ;  +12 ]
,2R. Calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza^ ndi . Esercizio 6.SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una legge di Bernoulli di parametro p,p2(0;1). Mostrare che non esiste lo stimatore di massima verosimiglianza se si osserva il campione 0; : : : ;0 o 1; : : : ;1. Esercizio 7.SiaX 1; : : : ; X nuna famiglia di variabili aleatorie indipendenti e tutte distribuite secondo una legge esponenziale di parametro. CiascunX irappresenta l'istante di disintegrazione di un nucleo di un certo elemento radioattivo. Per ognit0 ssato siano: Y ila v. a. che vale 1 se l' i-esimo nucleo e ancora in vita all'istantete 0 altrimenti; V nla proporzione dei nuclei ancora in vita all'istante t, deglinpresenti all'istante 0. (a) Trovare la legge diY ie quella di V n. (b) Veri care se si puo applicare la Legge dei Grandi Numeri aV ne dire se, e in che senso, la successione Vnconverge per n! 1ad una costantev. In tal caso determinare la costanteved esprimerla in funzione del tempo medio di vitadel generico nucleo radioattivo. (c) Supponendo di osservare il campioneY 1; : : : ; Y n, proporre uno stimatore di sulla base di tale campione. (d) Supponendo invece di osservare i tempi di vitaX 1; : : : ; X n, proporre uno stimatore di sulla base di tale campione. Esercizio 8. SiaXuna variabile aleatoria discreta che puo assumere solo i valori -2, 0, 2, rispettivamente con probabilita p(2) =12 ; p(0) = 2; p(2) =12 : (a) Per qualila funzioneprisulta una densita? [01=2] (b) SiaX 1; : : : ; X nun campione di variabili aleatorie indipendenti con la stessa densita p. Determinare l'espressione della funzioneftale che la funzione di verosimiglianza si scriva (2)n f(x 1;:::;x n) 12  f(x 1;:::;x n) : [f(x 1; : : : ; x n) =12 n X i=1j x ij ] (c) Calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza per. E corretto? [^ n=2 nP n i=1j X ij4 n; s ; s ] Esercizio 9.La concentrazioneXdi una certa sostanza inquinante in un gas di scarico di un processo industriale e uniformemente distribuita tra 0 e 1 mg=m3 . E stato elaborato un procedimento di depura- zione che consente di ridurre la concentrazione di quella sostanza: seXe la concentrazione di inquinante in un dato volume di gas di scarico sottoposto a depurazione, la concentrazioneYdopo la depurazione e data daY=pXmg=m3 , dovep2[0;1] e un parametro incognito. (a) Determinare la distribuzione diY. SiaY 1; : : : ; Y n, un campione aleatorio estratto dalla distribuzione di Y. (b) Mostrare che ^p n= max fY 1; : : : ; Y ng e uno stimatore di massima verosimiglianza perpbasato sul campioneY 1; : : : ; Y n. (c) Determinare la funzione di ripartizione di ^p n, il suo valore atteso E p[ ^ p n], e dedurre uno stimatore  p ncorretto per p. (d) Determinare lo stimatore ~p ndi pottenuto con il metodo dei momenti. (e) Calcolare l'errore quadratico medio di p ne di ~ p n. Quale tra i due stimatori e preferibile? Esercizio 10.Si consideri un campione casuale dindati estratto dalla popolazioneXdi densita f(x; ) =x exp x 22  1(0;+1)( x) con >0 parametro incognito. (a) Calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza^ per. [^ n=P n i=1X2 i2 n] (b) Secondo un certo modello l'altezza massimaXdelle onde del mare, osservata in un certo luogo nell'arco dell'anno, ha una densitaf(x; ). Supponiamo che negli ultimi 5 anni siano stati osservati i seguenti valori diX(in metri): 2:5 2:9 1:8 1:7 2:2 Usando la stima di M.V. per, calcolare il valorehper cui risultaP(Xh) = 1=100 (he l'altezza della cosiddetta "onda secolare", perche un'onda tale ha luogo in media ogni 100 anni). [4.8586 metri] Esercizio 11. SiaX 1; : : : ; X nun campione di variabili aleatorie indipendenti di legge B(N ; p), conp incognito. (a) Si calcoli lo stimatore di massima verosimiglianza perp. [ ^p n=P n i=1X i=nN ] (b) Si determini distorsione ed MSE (errore quadratico medio) dello stimatore trovato al punto (a) [0;p(1p)=nN]. Esercizio 12.Si consideri un campioneX 1; : : : ; X ndi v. a. discrete con densita f( x) = 2  jxj (1)1 jxj 1f1;0;1g( x): (a) Determinare per qualila funzionef e una densita. [ 2[0;1]] (b) Calcolare media e varianza diX 1. [0; ] Che legge hajX 1j ? [B()] (c) Calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza per. [^ n=P n i=1j X ij =n]  E distorto?[No] Quanto vale il suo MSE? [(1)=n] Esercizio 13.SiaX 1; : : : ; X 3nun campione di 3 nv.a. indipendenti di cui X1; : : : ; X 2ndi legge P() X2n+1; : : : ; X 3ndi legge P(2) dovee un parametro incognito. Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza pere calcolarne la varianza. E distorto? [^ n= P3n i=1X i4 n; =4n;No] Esercizio 14.SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una legge normale N(; 2 ). Si mostri che gli stimatori di massima verosimiglianza die2 sono ^ =1n n X i=1X i= Xn;^ 2 =1n n X i=1( X i Xn)2 : Esercizio 15.Un segnale deterministico ci viene inviato attraverso un canale di trasmissione rumoroso. A causa del rumore del canale, quando viene inviato un segnale di ampiezza, noi riceviamo un segnale di ampiezza aleatoriaXdi legge gaussiana con media pari ae varianza2 nota. Supponiamo ora di riceverentrasmissioni indipendentiX 1; : : : ; X ndi uno stesso segnale . (a) Quale stima puntuale dareste di? Perche? Supponiamo ora che il nostro apparecchio ricevente, a causa di un guasto, non registri i valori del segnale, ma solo il loro segno, cioe che il campione osservato siaY 1; : : : ; Y nove Yi=( 1;seX i< 0; +1;seX i 0: (b) Calcolare la legge delle variabiliY i. (c) Proporre uno stimatore^ ndi basato sul campioneY 1; : : : ; Y n. Esercizio 16.SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da f(x;) =xexpfx2 =2g=,x >0, >0. Si calcoli lo stimatore dei momenti^ ndi , si mostri che non e suciente. Esercizio 17. Si considerino i due campioni casuali e indipendenti,X 1; : : : ; X nda una popolazione N( 1; 2 ) eY 1; : : : ; Y mda una popolazione N( 2; 2 ), dove i parametri 1,  2e 2 sono tutti ignoti. (a) Calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza per= ( 1;  2; 2 ). Esercizio 18.Per2[0;1];siaf(x;) = (2 )j xj (1)1 jxj If1;0;1g( x),x2R, la densita di una variabile aleatoriaX: (a)Xe una statistica suciente? E' una statistica completa? (b)jXje una statistica suciente? E' una statistica completa? (c) X oppurejXje suciente minimale? Si considerino ora lo stimatore di massima verosimiglianzaT 1( X) e lo stimatoreT 2( X) = 2I f1g( X). (d) Calcolare distorsione ed errore quadratico medio diT 1e di T 2: (e) Quale stimatore preferireste traT 1e T 2? Esercizio 19.Si consideri una variabile discretaXdescritta dal modello statisticof(x;) dove= 0;1;2, e dovex0 1 2 f (x; 0)1/2 1/2 0 f (x; 1)1/3 1/3 1/3 f (x; 2)1/4 1/4 1/2 (a) Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza ^ 1( X 1) di basato su una sola osservazione X1. (b) Calcolare distorsione ed errore quadratico medio di^ 1. (c) Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza^ 2( X 1; X 2) di basato sul campioneX 1; X 2. (d) Calcolare distorsione ed errore quadratico medio di^ 2. (e) Osservato il campionex 1= 0, x 2= 2, come stimereste ? Esercizio 20.Il coeciente di variazione C V=j j e un indice introdotto da Karl Pearson per studiare la variabilita relativa di una distribuzione.Supponiamo di aver eettuato un campione di ampiezzanda una distribuzione Normale con media e varianza incognite e di conoscere soltanto il numeroT ndi osservazioni del campione che sono maggiori di zero. (a) Sulla base della sola informazioneT n; e possibile fornire una stima del coeciente di variazione della distribuzione? (b) Sen= 1000;per quali valori diT 1000stimeremo che la deviazione standard della distribuzione sia minore di 1/3 della media? (c) Per quali valori diT nla stima di C Ve massima e per quali valori diT ne minima? Esercizio 21. SianoX 1; : : : ; X ni risultati di nmisurazioni, indipendenti ed aette da errore casuale, di una medesima grandezza incognita, per cui Xi= + i;  1; : : : ;  ni.i.d. Nel caso di erroreN(0; 2 ), (a) determinare la legge diX i, (b) mostrare che la media campionariaX ne lo stimatore di massima verosimiglianza per . Nel caso di erroref(s;2 ) =e 2jsj=2 2 , (a) determinare la legge diX i, (b) mostrare che la medianam(X 1; : : : ; X n) e uno stimatore di massima verosimiglianza per . Esercizio 22.SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da f(x;) =x 2I [;+1)( x);  >0: (a) Provare che non esiste lo stimatore dei momenti per. (b) Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza^ per. (c) Mostrare che^ e una statistica suciente minimale. Esercizio 23.SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una popolazione di legge uniforme sull'intervallo [;2], dove >0. (a) Determinare lo stimatore dei momenti di. (b) Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza di. (c) Determinare una statistica suciente minimale per. Esercizio 24.Si consideri il modello statistico f(x;; ) =1 e (x)= I[;+1)( x); 0; >0: (a) Calcolare la media(; ) e la varianza2 (; ) di una variabile aleatoria di densitaf(x; ). Sia oraX 1; : : : ; X nun campione casuale dalla densita f(x;; ). (b) Calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza ( ^ n;^ n) di ( ; ) basato suX 1; : : : ; X n. (c) La statistica ( ^ n;^ n) e suciente per ( ; )? (d) Calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza ^ ndi basato suX 1; : : : ; X n. (e) Qual e l'errore quadratico medio di ^ n?