Mathematical Engineering - Probabilità

4 - Esercizi+su+test _28I parte_29

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Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1.Dato un campione casualeX 1; : : : ; X 5da una legge B(p), conpincognito e 0p1, si vuole sottoporre a veri ca l'ipotesi nullaH 0: p= 1=2 contro l'ipotesi alternativaH 1: p6 = 1=2. Si intende impiegare una regione critica del tipo R= x 512 > c : (a) Cercare i valori dicche danno un test di dimensione= 10%. (b) Cercare i valori dicche danno un test di livello= 10%. Esercizio 2.Un campione di ampiezza 1 e estratto da una popolazioneP(). Per veri careH 0: = 1 controH 1: = 2, si consideri la regione criticaR=fx >3g. Si trovino le probabilita di errore di primo tipo [0.019] e di secondo tipo [0.86] e la potenza del test [0.14] contro= 2. Esercizio 3.Si consideri il modello statistico dato dalle leggi esponenzialiE(), >0, e siaX 1; : : : ; X n un campione casuale estratto da una popolazione descritta da tale modello. Trovare i test di dimensione basati sul rapporto di verosimiglianza per (a)= 0contro 6 = 0. (b) 0contro  >  0.h R=fx  ( n; n 0) gi Esercizio 4.DataXBi(n; p), connnoto epincognito in [0;1], (a) si cerchi un test di livellobasato sul rapporto di verosimiglianza perH 0: pp 0contro H 1: p > p 0, (b) si scriva esplicitamente la regione di ri uto nel cason= 5,p 0= 0 :7,= 0:03. Esercizio 5.Si considerino i due campioni casualiX 1; : : : ; X nda una popolazione N( 1; 2 ) eY 1; : : : ; Y m da una popolazioneN( 2; 2 ), dove i parametri 1,  2e 2 sono tutti ignoti. Si vole sottoporre a veri ca H0:  1=  2+ controH 1:  16 = 2+ . (a) Si trovino i test basati sul rapporto di verosimiglianza per queste ipotesi, mostrando che possonoessere eseguiti sulla base della statistica T=X Y q S 2 p 1n +1m
; doveS2 p=1n +m2 n X i=1( X iX )2 +m X i=1( Y iY )2 : (b) Si mostri cheTt(n+m2) sottoH 0. (c) Fissata una dimensione, si determini il corrispondente test basato sul rapporto di verosimiglianza. Esercizio 6.Dato un campione casualeX 1; : : : ; X n, n2, estratto da una popolazioneN(; 2 ) con eentrambi incogniti, si trovino i test basati sul rapporto di verosimiglianza perH 0: = 0contro H1: 6 = 0. Esercizio 7.SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una legge uniforme su f1; : : : ; Ng, doveN2N. Trovare test basati sul rapporto di verosimiglianza, determinandone anche il livello, per (a) NN 0contro N > N 0. (b)N=N 0contro N6 =N 0.h R=fx (n) N 01 =n gS fx (n)> N 0gi Esercizio 8.Per un campione di ampiezza 1 dalla legge f(x;) =2 2( x);0< x < ; (a) si trovi il test di dimensionebasato sul rapporto di verosimiglianza per= 0contro 6 = 0; h R=fx 0= 2gS fx(1=2) 0gi (b) nel caso 0= 1 si trovi la potenza del test di dimensione = 5% contro= 1=2 [0.0975] e contro = 3=2.[0.1556] Esercizio 9.SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una legge uniforme sull'intervallo [0 ; ], >0. Trovare i test basati sul rapporto di verosimiglianza, determinandone il anche il livello, per (a) 0contro  >  0,h sec  0g che ha dimensione=0i (b)= 0contro 6 = 0. h sec  0g che ha dimensione=ci Nel caso 0= 1 si trovi la minima ampiezza ndel campione con cui il test di dimensione= 5% trovato in (b) risulta avere contro= 3=2 una potenza di almeno 0.8. [n4] Esercizio 10.SiaXun campione di ampiezza unitaria da una distribuzione con densita: f(x;) =2 2( x)I (0;)( x) con2(0;1):Si consideri il problema di prova delle ipotesi: H0: = 1 vs.H 1:  >1: (a) Se 0e il test con regione critica R0= fX >1g si calcoli il suo livello e la sua funzione potenza.h = 0; () = 11=
2i Esercizio 11.SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da f(x;) =x 2I [;+1)( x);  >0: (a) Determinare la regione critica del test di dimensionebasato sul rapporto di verosimiglianza per H0: 1 vsH 1:  >1: (e) Calcolare la funzione potenza del test trovato in (a) e disegnarne il gra co.(f ) Quanto deve essere grandense si vuole che il test trovato in (a) di dimensione= 0:04 abbia potenza 1 contro= 3?