Mathematical Engineering - Probabilità

7 - Esercizi su asintotica

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Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1.Il tempo di risposta di un calcolatore all'input di un terminale si descrive mediante una variabile aleatoria di legge esponenzialeE(), conincognito. Si intendono misurarentempi di risposta T1; : : : ; T nper stimare il tempo atteso di risposta 1 =e per stimare il parametro. SiaT n=1n P n i=1T ilo stimatore di 1 =. (a) Mostrare che e uno stimatore non distorto. (b) Determinarne la legge.(c) Studiarne asintotica normalita, consistenza ed ecienza asintotica. Si consideri ora la stima di. (d) Ricavare da 1=T nuno stimatore non distorto^ ndi . (e) Studiarne asintotica normalita, consistenza ed ecienza asintotica.(f ) Costruire una regione critica di livello (approssimativamente)per sottoporre a testH 0: = 0 controH 1: 6 = 0. (g) Si deduca da^ nuna quantita asintoticamente pivotale con cui costruire un intervallo di con denza perdi livello (approssimativamente) . (h) Si trovi una trasformazioneg: [0;+1)! Rche stabilizzi la varianza asintotica dig(^ n), ovvero tale che la varianza asintotica dig(^ n) sia indipendente da . (i) Si proponga un intervallo di con denza perdi livello (approssimativamente) costruito sulla base dig(^ n). Si confronti tale intervallo di con denza con quello ottenuto al punto (g). Esercizio 2.SiaXuna variabile aleatoria discreta che puo assumere solo i valori -2, 0, 2, rispettivamente con probabilita p(2) =12 ; p(0) = 2; p(2) =12 : (a) Per qualila funzioneprisulta una densita? [01=2] (b) SiaX 1; : : : ; X nun campione di variabili aleatorie indipendenti con la stessa densita pe sia^ nlo stimatore di massima verosimiglianza per. E consistente? [s ] Esercizio 3.SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una legge uniforme sull'intervallo [0 ; ], >0. (a) Studiare la consistenza diX (n), stimatore di massima verosimiglianza di , e diX (n)( n+ 1)=n, stimatore corretto di. (b) Per l'intervallo di con denza perdi livello di ampiezza minima che si puo costruire con la quantita pivotaleX (n)= , si studi il limite di tale ampiezza pern! 1. Esercizio 4.SiaX 1; : : : ; X nuna famiglia di variabili aleatorie indipendenti e tutte distribuite secondo una legge esponenziale di media. CiascunX irappresenta l'istante di disintegrazione di un nucleo di un certo elemento radioattivo. Per ognit0 ssato, siaY ila v. a. che vale 1 se l' i-esimo nucleo e ancora in vita all'istantete 0 altrimenti. Si considerino i seguenti stimatori di: (1) lo stimatore di massima verosimiglianzaV nbasato sul campione Y 1; : : : ; Y n, (2) W n= nminfX 1; : : : ; X ng , (3) lo stimatore UMVUET nbasato sul campione X 1; : : : ; X n. Determinare le leggi degli stimatori (2) e (3) e si studi la normalita asintotica e la consistenza di tutti gli stimatori proposti. Quale scegliereste? [V n AN( ; 4t 21 e t=n ) consistente; W n E (1=) non asintoticamente normale, ne consistente; Tn (n; n=)AN( ; 2 =n) consistente] Esercizio 5.Pern1, siaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una distribuzione Normale di media 2(1;+1) e varianza 4. (a) Si determini seT n=1ne 2n X i=1e X i e uno stimatore non distorto per stimaree . (b) La successione di stimatorifT ng e consistente per stimaree ? (c) Si studi la normalita asintotica diT n. (d) Si determini ora seW n= eX n e consistente per stimaree . (e) Si studi la normalita asintotica diW n. (f ) Si determini l'ecienza asintotica relativa diT nrispetto a W n. (g) Si costruisca un intervallo di con denza di livello (approssimativamente) 1pere . Esercizio 6.Sia (X 1; :::; X n) un campione casuale estratto da una distribuzione di Poisson di parametro  >0:Sia() =e  (1 +). Per stimaresi considerino lo MLE e lo UMVUE. Stabilire se sono stimatori consistenti. Esercizio 7.SiaX 1; : : : ; X nun campione di variabili aleatorie indipendenti di densita beta( ;1), f( x) =x 1 1(0;1)( x);  >0; e sia^ nlo UMVUE di . (a) Si mostri che^ ne consistente, asintoticamente normale e asintoticamente eciente. (b) Si costruisca una regione critica di livello (approssimativamente)per sottoporre a testH 0: = 0 controH 1:  >  0. [ f^ n>  0+  0z 1=pn g] Esercizio 8.Si consideri un campioneX 1; : : : ; X ndi v. a. discrete con densita f( x) = 2  jxj (1)1 jxj 1f1;0;1g( x): Lo stimatore di massima verosimiglianza pere consistente? Esercizio 9.Sia (X 1; :::; X n) un campione casuale estratto da una distribuzione di Poisson di parametro  >0:Perngrande, determinare il test LR di livello (approssimativamente)per veri careH 0: = 0 controH 1: 6 = 0. Esercizio 10. SiaX 1; :::; X nun campione casuale da una Gamma(2,1/ ) con >0. Si ha quindi f(x;) = 2 xe x= I(0;+1)( x): Sia^ nlo stimatore di massima verosimiglianza per . (h) Veri cate che^ ne consistente. (i) Determinate la distribuzione asintotica di^ n: [^ n AN(; 2 =(2n))] (l) Determinate lo stimatore ^2 ndi massima verosimiglianza per la varianza di X 1: [ ^2 n= 2^ n] (m) Determinate la distribuzione asintotica di ^2 n: [ ^2 n AN(22 ;84 =n)] Esercizio 11.SiaX 1; :::; X nun campione casuale da una distribuzione con densita: f(x;) =(1x) 1 I(0;1)( x) con2(0;1):Di conseguenza: E[ X 1] =11 + ; V ar [ X 1] =(1 + )2 (2 +): (a) Si determini lo stimatore^ nML di e se ne veri chi la proprieta di consistenza. (b) Si determini la distribuzione asintotica di^ n: (c) Si costruisca la regione critica di un test asintotico di livello2(0;1) per veri care le ipotesi: H0: = 2 vs.H 1: 6 = 2: (d) Si determini, per mezzo del metodo dei momenti, lo stimatoreT ndi : (e) Si calcoli la distribuzione asintotica diT n: (f ) Quanto valeARE(T n;^ n)? (g) Quale stimatore discegliereste quando la dimensionendel campione e grande? (h) Si trovi una trasformazioneg: [0;+1)! Rche stabilizzi la varianza asintotica dig(^ n), ovvero tale che la varianza asintotica dig(^ n) sia indipendente da . Esercizio 12.SiaXuna variabile aleatoria a valori in (0;1) tale che log(X) abbia distribuzioneN(;1) conparametro reale incognito. OvveroXha distribuzione log-normale. Pern1;siaX 1; :::; X nun campione casuale dalla distribuzione diX: (a) Si calcoli la mediadiX:[= exp(+ 1=2)] (b) Si determini lo stimatoreT n= T n( X 1; :::; X n) di massima verosimiglianza per : [T n= exp(P logX i=n + 1=2)] (c) Si calcoli la distorsione diT nper stimare :[e +1=2 (1e1 =(2n) )] (d) La successione di stimatorifT ng e consistente per? [S ] (e) A partire daT n; si determini uno stimatoreW nche sia UMVUE per :[W n= e 1=(2n) Tn] (f ) Si calcoli l'informazione di Fisher I():[I() =n=2 ] (g) Per mezzo del Metodo Delta, si determini la distribuzione asintotica diT ne quella di W n: [T n AN(; 2 =n),W n AN(; 2 =n)] (h) Si veri chi cheW ne asintoticamente eciente. (i) Si costruisca un intervallo di con denza asintotico perdi livello 1con2(0;1): [W n W nz 1=2=pn ] Esercizio 13.SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da f(xj) =12  1 + x I(1;1)( x); 2[1;1]: (a) Si determini col metodo dei momenti uno stimatoreb ndi . (b) Si determini la distribuzione asintotica dib n. (c) Si proponga un intervallo di con denza asintotico di livello = 1per. Esercizio 14.SiaX nuna successione di variabili aleatorie e siano  n, m n, 2 ne s2 nsuccessioni numeriche. Supponiamo che pern! 1, si abbiaX n AN( n; 2 n), ( m n  n) = n! 0 es2 n 2 n. Si mostri allora cheX n AN(m n; s2 n). Esercizio 15.Per2R;sia f( x) =e (x) I[;+1)( x): (a) Dopo aver disegnato un gra co qualitativo della funzionef ; si ver chi che essa e la densita di una variabile aleatoriaX=Y+conY E(1) (distribuzione esponenziale di parametro 1). (b) Pern1;si determiniT nstimatore dei momenti di : (c)T ne consistente? (d)T ne asintoticamente normale? (e) Pern1;si determini^ nstimatore di massima verosimiglianza di : (f )^ ne una statistica suciente per ? (g) Si veri chi cheg(x;) =ne n(x) I[;+1)( x) e la densita di^ ne che, di conseguenza, E(^ n) =1n + ;Var (^ n) =1n 2: (h)^ ne consistente? (i) Pern1;sia Qn=^ n E (^ n)q Var (^ n); mostrare cheP( Q n 1) = 1 per qualunque valore di: (l) ^ n AN E(^ n) ;Var (^ n) ? (m) Veri care cheQ ne quantita pivotale. (n) Trovare l'intervallo di con denza perdi livello 12(0;1) costruito tramite la quantitaQ n scegliendo quello di ampiezza minima. (o) Calcolare il limite dell'ampiezza dell'intervallo del punto precedente quando la dimensione delcampionen!+1: Esercizio 16.Dato un campione casualeX 1; : : : ; X nda una distribuzione di Bernoulli B(p), si consideri V(X 1; : : : ; X n) = nX n(1 X n) =(n1) stimatore UMVUE della varianza2 della distribuzione. (d) Mostrare cheV(X 1; : : : ; X n) e consistente per 2 . (e) Determinare la legge asintotica diV(X 1; : : : ; X n).