Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 13/7/2009 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOL A: ________________________ AVVERTENZ A In base al la norm ativa in vi gore, i n assenza di rinunci a espl icita una votaz ione posi tiva sarà regi strata d’uffi cio senz a la firma dello studente e non sarà pi ù m odi ficabi le dal docent e. I risultati della prova, così com e le m odalità pe r la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro L unedì 20/ 7 (sito web del docent e). I candi dat i pot ranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito com plessivo dell’esam e: Martedì 21/ 7 ore 15-17, uffi cio del docente (DE I, 2 pi ano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere ripor tate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Un com merciante all’ingrosso acquista una volta l’anno due tipi di form aggio, allo scopo di invecchiarli e poi rivenderli: GP, che richiede 2 a nni di invecchiam ento e perde m ediam ente il 10% del peso ogni anno, e PR, che ne richiede 3 e perde il 20% annuo. Entram bi vengono acquistati a 5€/kg, m entre il prezzo a cui vengono rivenduti è di 15€/kg (GP) e 25€/kg (PR). Inoltre, ogni anno il com merciante dedica il 30% della spesa com plessiva all’acquisto di GP e il restante al PR. a) Si proponga un m odello che descriva l’evoluzione nel tem po delle quantità stoccate ad invecchiare, in cui rappresenti la spesa all’anno t per l’acquisto di form aggi da invecchiare e il ricavo all’anno t dalla vendita. )(t u )(ty b) Si studi la stabilità del sistem a, discutendo in particolare il tem po di risposta e l’eventuale presenza di oscillazioni. c) Si determ ini il ricavo annuo a regim e se la spesa per acquisto è costante e pari a 10000€. ________________________________________ __________________________________ Soluz ione [se necessari o prosegui re sul retro ]: 2) Si consideri il sistem a aggregato a tem po continuo rappresentato in figura. I blocchi A, B e C hanno funzione di trasferim ento s s s G s G s G C B A + + = = = 1 1.0 1 )( )( )( Il blocco E è un integratore. Il blocco D ha modello ingresso/uscita D D D D u u y y + = + & & 2 2 , m entre il blocco F è descritto dalla seguente terna di m atrici: [] 1 0 0 1 1 2 0 1 = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡= ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − = F F F c b A Per il sistem a aggregato in figura: a) Studiare la stabilità. b) Determ inare tutti gli autovalori, tutte le costanti di tem po e il tem po di risposta. d) Scrivere in form a sintetica (=funzione di B A G G , , ecc.) la funzione di trasferim ento e calcolarne il guadagno. ________________________________________ __________________________________ Soluz ione [se necessari o prosegui re sul retro ]: 3) Si consideri il sistem a in f igura, in cui A è un integratore e il blocco B ha funzione di trasferim ento: 2 10 )( + = s s GB a) Determ inare le funzioni di trasferim ento tra i due ingressi e l’uscita, studiandone poi la stabilità. b) Determ inare qualitativam ente, e rappresentare graf icam ente, l’uscita com plessiva del sistem a se i due ingressi valgono ) 10 ( )( 1 − − = t sca t sca u , )5 ( 2 − = t sca u ________________________________________ __________________________________ Soluz ione [se necessari o prosegui re sul retro ]: 4) Si consideri il sistem a seguente, avente stato : 2 ) , ( R y x ∈ p x x x − − = ) 1( & y y 2−=& a) Determ inare gli stati di equilibrio al variare di ) , ( +∞ −∞ ∈p . b) Studiare, per ogni p, la stabilità degli equilibri sopra determ inati m ediante il m etodo di linearizzazione. c) Nei due casi e , discutere il quadro delle traiettorie descrivendone gli elem enti fondam entali (eventuali equilibri e loro varietà stabili/instabili, alcune \ traiettorie non rettilinee). 0=p 1=p ________________________________________ __________________________________ Soluz ione [se necessari o prosegui re sul retro ]: 5) Definizione di sistem a esternam ente stabile. 6) Criterio di Bode per la stabilità di un sistem a retroazionato. 7) Fornire la sequenza di com andi Matlab necessari per il tracciam ento dei diagram mi di Bode del sistem a . [] 0 1 1 0 2 0 2 1 = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡= ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − = c b A Ri sposte ai quesi ti 5-6-7 [se necessari o prosegui re sul retro ]: