Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 3/9/2009 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOL A: ________________________ AVVERTENZ A In base al la norm ativa in vi gore, i n assenza di rinunci a espl icita una votaz ione posi tiva sarà regi strata d’uffi cio senz a la firma dello studente e non sarà pi ù m odi ficabi le dal docent e. I risultati della prova, così com e le m odalità pe r la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro Mercoledì 9/9 (sito web del docent e). I candi dat i pot ranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito com plessivo dell’esam e: Venerdì 11/ 9 ore 11-13, uffi cio del docente (DE I, 2 pi ano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 6 6 6 3 3 2 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere ripor tate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Si consideri il sistem a a tem po continuo rappresentato in figura. I blocchi A e B sono descritti dalle funzioni di trasferim ento 1 10 )( − = s s GA e 2 )( − = s s s GB , il blocco C è descritto dal m odello ingresso/uscita C C C C C u u y y y 2 4 4 + −= + + & & && , il blocco E è descritto dal m odello di stato [] 1 0 1 0 1 1 1 1 2 0 0 4 1 1 0 3 2 1 2 2 0 0 0 1 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − = c b A a) Proporre arbitrariam ente un blocco D di ordine 2 tale che il sistem a aggregato sia asintoticam ente stabile. b) Utilizzando il blocco D proposto, determ inare il tem po di risposta del sistem a aggregato, discutendo anche l’eventuale presenza di oscillazioni nelle risposte \ ad ingresso costante. c) Utilizzando il blocco D proposto, discutere la st abilità del sistem a aggregato nel caso il m odello ingresso/uscita del blocco C venga sostituito da C C C C C C u u y y y y 2 4 4 + −= + + + & & && &&& . ________________________________________ __________________________________ Soluz ione [se necessari o prosegui re sul retro ]: 2) Il sistem a possiede 4 stati di equilibrio. Le m atrici di stato dei sistem i linearizzati (Jacobiani) calcolati in corrispondenza di tali equilibri sono le segu\ enti: ) (x f x=& ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − = 2 2 2 1 1J ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡= 0 0 1 1 2J ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = 0 2 2 0 3J ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡= 0 2 2 0 4J a) Studiare la stabilità dei 4 equilibri. b) Nei casi in cui è possibile, tracciare il quadro lo cale delle traiettorie nell’intorno dell’equilibrio del sistem a . ) (x f x=& ________________________________________ __________________________________ Soluz ione [se necessari o prosegui re sul retro ]: 3) Il seguente diagram ma di Bode del m odulo, relati vo ad un sistem a asintoticam ente stabile, è stato ricavato sperim entalm ente. 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 Magnitude (dB) Bode D iagr am Frequenc y (rad/ sec) a) Determ inare la funzione di trasferim ento del sistem a. ) (s G b) Tracciare il diagram ma di Bode (approssim ato) della fase. c) Determ inare l'uscita a transitorio esaurito corrispondente all'ingresso: ) 001.0 sin(8 5. 12 )( π− + = t t u . d) Determ inare (qualitativam ente) la risposta allo scalino del sistem a seguente: ________________________________________ __________________________________ Soluz ione [se necessari o prosegui re sul retro ]: 4) Si consideri il sistem a di controllo in f igura, in cui µ=)(s C e ) 1.0 1)( 1( 100 )( s s s s G + + = . a) Determ inare un valore del coefficiente µ che renda il sistem a di controllo asintoticam ente stabile, con un m argine di fase di circa 45°. Con il valore di µ determ inato al punto precedente: b) Determ inare, anche in m odo approssim ato, il tem po di risposta del sistem a di controllo. c) Determ inare l'errore a transitorio esaurito quando )( 5 )( t sca t w = e )1.0 sin(1.0 )( t t d = . ________________________________________ __________________________________ Soluz ione [se necessari o prosegui re sul retro ]: 5) Definizione di sistem a “a m emoria finita”. 6) Per il sistem a , definire la nozione di stato non osservabile, di sottospazio di non osservabilità e di sistem a com pletam ente osservabile. , Ax x=& cx y= 7) In am biente Matlab, sono state definite le m atrici ( A,b,c) relative ad un sistem a a tem po discreto. Scrivere l’istruzione (o la sequenza di istruzioni) che perm ette di calcolare il guadagno del sistem a. Ri sposte ai quesi ti 5-6-7 [se necessari o prosegui re sul retro ]: