Mathematical Engineering - Fondamenti di Automatica

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Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Matematica – Prof. C. Piccardi Appello del 15/9/2010 COGNOME:_________________________ NOME: _________________________ MATRICOLA: ________________________ AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita una votazione positiva sarà registrata d’ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova, così come le modalità per la rinuncia al voto, saranno pubblicati entro Lunedì 20/9 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell’esito complessivo dell’esame: Giovedì 23/9 ore 10-12, ufficio del docente (DEI, 2 piano) FIRMA: __________________________________________ Visto del docente:______ Voto totale 6 FdA1 6 FdA1 6 FdA2 6 FdA2 3 FdA1 3 FdA2 2 FdA1 32 ATTENZIONE ! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l’ordine e la chiarezza dell’esposizione. 1) Un commerciante all’ingrosso acquista in grande quantità forme di Parmigiano Reggiano all’inizio di ogni anno per poi rivenderle dopo esattamente tre anni di stagionatura, nel corso dei quali il formaggio perde ogni anno circa il 10% del proprio peso. I prezzi (€/kg) di acquisto e di vendita sono c e p. a) Descrivere l’attività in esame mediante un sistema lineare a tempo discreto (specificando chiaramente il significato delle variabili di stato), in cui u sia la spesa per l’acquisto e y il ricavo della vendita. b) Calcolare l’equilibrio in funzione di u e discutere la stabilità del sistema, la possibilità di oscillazioni ed il tempo di risposta. c) Determinare il modello ingresso-uscita del sistema. d) Determinare il rapporto p/c tra prezzo di vendita e di acquisto tale per cui, all’equilibrio, ogni anno il ricavo è pari al doppio della spesa. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 2) Si conside sono desc r 1 ) (= s s G A C Cy y8 + + & & & Il blocco E 0 0 01 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = A a) Discute r b) Determ i l’eventual e _______ _ Soluzione [s ri il sistem a ritti come s e 1 10 −G B C C u y4 − = + & E è descritt o 2 0 21 1 10 0 24 3 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ ⎤ − − − − − re la stabili t inare tutte l e presenza d _________ _ e necessario p a aggregat o egue 2 ) ( − = ss s D C y ,+& o dal model l 1 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎦ ⎤ b tà del siste m le costanti d di oscillazi o ________ _ proseguire sul o (a tempo D D u y2 − = lo di stato [ 1 1 1 = c ma aggregat di tempo de oni nel mov i ________ _ retro ]: continuo) r D ]1 o. l sistema a g imento libe r ________ _ rappresenta t ggregato, il ro. _________ _ to in figura suo tempo ________ _ . I blocchi di risposta ________ _ A, B, C, D e discuter e ________ _ D e _ 3) Si consideri il seguente sistema a tempo continuo: 22 1 22 1 1 22 x yx x xu x x x =+ − =+ + = & & a) Studiarne la stabilità, la raggiungibilità e l’osservabilità. b) Progettare un ricostruttore asintotico dello stato tale che l’errore di stima vada a zero (approssimativamente) in 0.1 unità di tempo. c) Progettare una legge di controllo tale che il sistema controllato (sistema + ricostruttore dello stato progettato al punto precedente + legge di controllo) abbia un tempo di risposta pari (approssimativamente) a 1 unità di tempo. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 4) Mediante esperimenti condotti applicando ad un sistema segnali sinusoidali a varie frequenze, si è ricavato il seguente diagramma di Bode del modulo: Si è inoltre rilevato che lo sfasamento introdotto dal sistema tende a 2 π− per 0 → ω e tende a π− per ∞ → ω . a) Determinare una funzione di trasferimento compatibile con i risultati degli esperimenti sopra riportati. b) Determinare (qualitativamente) la risposta all’impulso del sistema, discutendo anche il tempo di risposta e l’eventuale presenza di oscillazioni. __________________________________________________________________________ Soluzione [se necessario proseguire sul retro ]: 5) Un si possiede 2 autovalori 2 equilib r stabilità d e 6) Quanto s L/ ) ( µ= 7) Deter m corrispon d Risposte ai q stema (t x 2 stati di del sistem a ri, è ripor t egli stati di e vale il ma r s (con > µ minare il m o dente allo s c quesiti 5-6-7 ( ( ) 1tx f = + equilibrio. a linearizza t tato in fig u equilibrio. rgine di fas e 0) ? odello ingr e chema Sim u [se necessari o ))t di or d Il quadr o to, nell’into r ura. Discu t e di un sist e esso/uscita ulink in fig u o proseguire s u dine 3 o degli rno dei tere la ema di con t (equazion e ura. ul retro ]: trollo con f e differenz i funzione di iale o funz i trasferime n ione di tra nto d’anell o sferimento ) o ) 5) 6) 7)